导数与微分基础：变化率的语言¶

一篇会成长的笔记。惯导解算通篇在做"积分"，而积分就是微分的逆运算——所以先把"导数 / 微分"这块地基夯实。这里从直觉讲到严格定义，再讲到求导法则与泰勒展开，全程给推导，最后串回惯导（比力方程、姿态更新、误差线性化、ESKF）。每节末尾附外链 Wiki，随手回去补课。

核心要点¶

• 导数 = 差商的极限 = 曲线切线斜率 = 瞬时变化率 = 该点附近最佳线性逼近的系数——这四种说法是同一个数。
• 可导 ⟹ 连续；但连续 ⇏ 可导（尖点 \(|x|\)、竖直切线 \(x^{1/3}\) 两个经典反例）。
• 微分 \(dy=f'(x)\,dx\) 是增量 \(\Delta y\) 的线性主部，\(\Delta y = dy + o(\Delta x)\)。
• 惯导视角：姿态/速度/位置更新全是微分方程 + 数值积分；误差分析与卡尔曼/ESKF 全靠在状态方程处做一阶线性化（泰勒展开取一阶 ⟶ 雅可比 ⟶ 协方差传播 \(P=FPF^T+Q\)）。

一、从平均变化率到瞬时变化率¶

一句话：先会算"一段路多快"，再追问"某一瞬间多快"。

设函数 \(f(x)\)，在 \(x_0\) 附近取一个增量 \(h\)，函数值从 \(f(x_0)\) 变到 \(f(x_0+h)\)。这段区间上的平均变化率是

这个量也叫差商——它就是曲线上两点 \((x_0, f(x_0))\) 与 \((x_0+h, f(x_0+h))\) 所连割线的斜率。

当 \(h\to 0\) 时，如果差商趋于一个确定的有限数，它就刻画了"某一瞬间的变化快慢"——瞬时变化率，也就是导数。

一句话的直觉：平均变化率是"这一段路平均多快"，瞬时变化率是"这一瞬间表针指到多快"。 惯导里传感器的采样就是在不断地"取极限"：采样率越高，\(\Delta t\) 越小，差分越接近导数。

二、导数的严格定义¶

设 \(f\) 在 \(x_0\) 的某个邻域内有定义。若极限

存在且有限，则称 \(f\) 在 \(x_0\) 处可导，该极限值称为 \(f\) 在 \(x_0\) 处的导数。

等价写法：令 \(x=x_0+h\)，则 \(h=x-x_0\)，\(h\to 0\) 即 \(x\to x_0\)，于是

用 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 语言严格化（考据派才需要，直觉派可跳过）：

导函数：若 \(f\) 在区间内每一点都可导，则 \(x\mapsto f'(x)\) 称为导函数（也说"求导"得到 \(f'\)）。

常见记号（同一个对象）：

三、几何意义：割线 → 切线¶

一句话：导数就是"让割线转成切线"的那条直线的斜率。

• 割线 \(PQ\) 斜率：\(m_h=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)；
• 当 \(h\to 0\) 时 \(Q\to P\)，割线的极限位置就是曲线在 \(P\) 处的切线，其斜率就是 \(f'(x_0)\)。

于是曲线 \(y=f(x)\) 在点 \((x_0, f(x_0))\) 处的切线方程

法线（过切点、垂直于切线）斜率为 \(-1/f'(x_0)\)（当 \(f'(x_0)\neq 0\)）。

四、物理意义：变化率与惯导的"积分语言"¶

一句话：一阶导数是变化率，二阶导数是变化率的变化率。

• 位置 \(s(t)\) 的导数是瞬时速度：\(v(t)=s'(t)\)；
• 速度的导数是加速度：\(a(t)=v'(t)=s''(t)\)。

五、更本质的理解：导数 = 最佳线性逼近¶

这是现代微积分（及后续一切线性化）的核心视角。

若 \(f\) 在 \(x_0\) 可导，则对任意小量 \(h\)：

其中 \(o(h)\) 表示比 \(h\) 高阶的无穷小：\(\dfrac{o(h)}{h}\to 0\)。

推导（只要用导数定义 + 一个小技巧）：

由定义 \(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\to f'(x_0)\)，令

则

移项即得。反过来：若存在常数 \(L\) 使 \(f(x_0+h)=f(x_0)+Lh+o(h)\)，则差商 \(\to L\)，故 \(L=f'(x_0)\)。

这说明：导数是在一点附近唯一能"用直线逼近曲线"的那个系数。

六、可导与连续：谁蕴含谁¶

可导必连续¶

把差商换一种写法：

所以 \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)，即 \(f\) 在 \(x_0\) 连续。

连续不一定可导（两个经典反例）¶

反例 1：尖点 \(f(x)=|x|\)，\(x_0=0\)。

• \(h>0\)：\(\dfrac{|h|-0}{h}=1\)；
• \(h<0\)：\(\dfrac{|h|-0}{h}=\dfrac{-h}{h}=-1\)。

左右极限不同 ⟹ \(f'(0)\) 不存在。几何上：\(0\) 处是一个"尖"，切线斜率不唯一。

反例 2：竖直切线 \(f(x)=x^{1/3}\)，\(x_0=0\)。

极限不是有限数 ⟹ 不可导。几何上：\(0\) 处切线竖直，斜率为"无穷大"。

直观结论：连续只保证"不断"，可导还要求"不尖、不竖直"。 惯导/滤波里凡是要求可导、可微的地方，遇到"尖点类"状态（如速度过零、符号跳变）就要小心。

单侧导数¶

左导数、右导数：

可导 ⟺ 左右导数都存在且相等：

七、从定义出发：基本函数的导数推导¶

把"差商 → 化简 → 取极限"三连在几个基本函数上走一遍（这也是考研/考试计算的基本功）。

1. 常数函数 \(f(x)=c\)¶

2. 线性函数 \(f(x)=ax+b\)¶

3. 平方函数 \(f(x)=x^2\)¶

4. 幂函数 \(f(x)=x^n\)（\(n\) 为正整数）¶

用因式分解（等差数列求和结构，共 \(n\) 项）：

除以 \(h\) 后令 \(h\to 0\)，每一项都趋于 \(x^{n-1}\)，共 \(n\) 项：

5. 正弦函数 \(f(x)=\sin x\)¶

用和角公式 \(\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h\)：

用到两个基本极限（\(h\to 0\)）：

前者可由单位圆夹逼得到，后者由 \(\cos h-1=-2\sin^2(h/2)\) 推出。于是

6. 指数函数 \(f(x)=e^x\)¶

基本极限记忆串：\(\dfrac{\sin h}{h}\to 1\)（扇形面积夹逼）、\(\dfrac{e^h-1}{h}\to 1\)（\(e\) 的定义/对数导数）。这两个是做三角函数与指数函数"定义求导"时的钥匙。

常用导数表（速查）：

八、微分：\(dy\) 与 \(\Delta y\) 的区别¶

一句话：微分是增量的"线性主部"，是 \(\Delta y\) 最好的线性近似。

由 §5 的线性逼近，\(f\) 在 \(x\) 可导时

定义自变量微分 \(dx=\Delta x\)，因变量微分

于是 \(\Delta y = dy + o(\Delta x)\)。两者的关系：

微分的一个经典用法——线性近似：\(f(x_0+h)\approx f(x_0)+f'(x_0)h\)。

例：\((1.01)^2\approx 1+2\times 0.01=1.02\)（真实值 \(1.0201\)，误差 \(0.0001=o(h)\)）。惯导里大量"小量近似"（失准角 \(\phi\)、小角度 \(\sin\theta\approx\theta\)、\(\cos\theta\approx1\)）就是这条思想的工程化。

九、求导法则（含证明）¶

和差法则¶

$\((u\pm v)'=u'\pm v'\)$ 由定义直接拆开即证。

乘积法则 \((uv)'=u'v+uv'\)¶

核心技巧：加一项减一项（加 \(f(x)g(x+h)\)）：

令 \(h\to 0\)：\(g\) 可导（故连续）⟹ \(g(x+h)\to g(x)\)，于是

商法则 \((u/v)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)¶

法一：把 \(1/v\) 看成 \(v^{-1}\)，由幂法则 + 链式法则推出；法二：\(u=v\cdot(u/v)\) 两边用乘积法则解出 \((u/v)'\)。

链式法则（复合函数）\((f\circ g)'(x)=f'(g(x))\,g'(x)\)¶

用线性逼近证明。设 \(y=f(u)\)，\(u=g(x)\)：

记 \(k=g(x+h)-g(x)=g'(x)h+o(h)\)，则 \(k\to 0\) 且 \(k=O(h)\)。由 \(f\) 在 \(g(x)\) 处的线性逼近：

代入 \(k\) 并注意 \(o(k)=o(h)\)：

与线性逼近形式对照，主部系数就是复合函数的导数：

惯导里链式法则到处都是：四元数姿态更新、坐标变换链 \(C_b^n=C_e^n C_b^e\) 对时间的求导、加速度对姿态的依赖——都是"外层对整体求导 × 内层求导"。

反函数法则 \((f^{-1})'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}\)，其中 \(y_0=f(x_0)\)¶

直觉：互为反函数的两条曲线关于直线 \(y=x\) 对称，斜率互为倒数。严格证明由连锁率对 \(f^{-1}(f(x))=x\) 两边求导得到。

应用例：\(y=\ln x \iff x=e^y\)，\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{dx/dy}=\dfrac{1}{e^y}=\dfrac{1}{x}\)，得到 \((\ln x)'=1/x\)。

十、高阶导数与泰勒展开（通往惯导线性化）¶

高阶导数：导函数继续求导。

• 二阶导数的物理意义：加速度；
• 几何意义：\(f''>0\) 凹向上、\(f''<0\) 凹向下，\(f''=0\) 是拐点（可能的）。

泰勒展开（\(f\) 足够光滑时）：

• \(n=0\) 截断：\(f(x_0+h)\approx f(x_0)\)——零阶保持；
• \(n=1\) 截断：\(f(x_0+h)\approx f(x_0)+f'(x_0)h\)——一阶线性化，§5 的线性逼近即此；
• 各阶系数 \(f^{(k)}(x_0)/k!\) 携带了函数在一点附近越来越多的局部信息。

十一、总结：一句话记住导数¶

它同时是：差商的极限 · 切线斜率 · 瞬时变化率 · 最佳线性逼近的系数 · 一元时的微商 \(dy/dx\)。

核心关系：可导 ⟹ 连续，但连续 ⇏ 可导。

如果只记一句话：导数就是函数在一点附近用直线去逼近时，那条直线的斜率。

关联¶

• 系列内：惯性导航系列首页
• 姊妹篇：数学地基：矩阵、概率与协方差（协方差 / 雅可比 / \(P=JPJ^T\) 由此接上）
• 配套篇：坐标变换与旋转矩阵（推导入门） · 矢量叉乘与反对称矩阵
• 应用篇：06 机械编排方程 · 07 姿态更新算法 · 09 纯惯导误差传播 · 10 卡尔曼滤波基础 · 11 EKF 与 ESKF
• 下一篇计划：泰勒展开 / 期望方差（并入 数学基础）→ 四元数 / 旋转矩阵 → 卡尔曼 / ESKF

外链 Wiki¶

• 导数 — 维基百科
• 微分 — 维基百科
• 极限（数学） — 维基百科
• 泰勒公式 — 维基百科
• 切线 — 维基百科
• 雅可比矩阵 — 维基百科
• 连式法则 — 维基百科
• 卡尔曼滤波 — 维基百科