微分方程、矩阵指数与状态空间离散化¶

一篇会成长的笔记。在组合导航里，微分方程是连接物理世界和卡尔曼滤波的桥梁：对方程怎么解、怎么离散化、矩阵指数怎么算、矩阵怎么求导，如果心里没数，看 $F$ 阵、$Q$ 阵、状态转移就像看天书。这篇按你喜欢的格式：定义 → 推导 → 物理直觉 → 课程对接 → 常见坑，把这条线彻底打通。

核心要点¶

惯导运动方程是一阶微分方程组（位置/速度/姿态的导数=各自的变化率）——这正是"状态空间方法"的来源。
线性系统 $\dot x=Fx+Gw$ 有解析解：$x(t)=e^{F\Delta t}x_0+\int e^{F(t-\tau)}Gw\,d\tau$。
矩阵指数 $e^{F\Delta t}$：$F$ 自由演化 $\Delta t$ 的状态转移矩阵，是连续↔离散的桥梁。
离散化：$x_k=F_d x_{k-1}+w_k$，其中 $F_d=e^{F\Delta t}$，$w_k$ 协方差 $$Q_d=\int_0^{\Delta t}e^{F(\Delta t-\tau)}GQ_cG^Te^{F^T(\Delta t-\tau)}\,d\tau \approx GQ_cG^T\Delta t\quad(\text{一阶})$$
非线性系统：在估计点一阶泰勒展开 → 雅可比 $F=\partial f/\partial x$ → 线性误差方程 $\delta \dot x=F\delta x+Gw$ → 才谈得上卡尔曼。
矩阵求导：构造 $F/H$ 阵、推导卡尔曼增益的笔头功夫（二次型、迹、链式法则）。

全局逻辑图：

物理规律（牛顿力学、运动学）
        │  写成微分方程
        ▼
连续状态方程：ẋ = Fx + Gw
        │  求解（矩阵指数、常数变易法）
        ▼
连续解：x(t) = e^{FΔt}·x(t0) + ∫e^{F(t-τ)}Gw(τ)dτ
        │  离散化（一个采样周期）
        ▼
离散状态方程：x_k = F_d·x_{k-1} + w_k
        │  噪声传播
        ▼
Q_d = ∫e^{F(Δt-τ)}GQcGᵀe^{Fᵀ(Δt-τ)}dτ

一句话：微分方程描述"怎么变"，矩阵指数解决"怎么解"，离散化解决"卡尔曼怎么用"。

一、微分方程基础（定义）¶

一句话：微分方程是包含未知函数及其导数的方程，用来描述"量 + 量的变化率"之间的关系。

1.1 常微分方程（ODE）vs 偏微分方程（PDE）¶

ODE：未知函数是一元函数，如 $\dot x(t)=f(x(t),t)$，惯导解算只用 ODE；
PDE：未知函数是多元函数，含偏导数（如热传导/波动方程），惯导不涉及。

1.2 阶数¶

最高阶导数的阶数。

一阶：$\dot x=f(x,t)$；
二阶：$\ddot x=f(x,\dot x,t)$。

为什么惯导方程都能写成"一阶"：物理上位置导数=速度、速度导数=加速度、姿态导数=角速度，每一条都是一阶。二阶方程 $\ddot p=a$ 可以降阶成一阶方程组：

\[\begin{cases}\dot p=v\\ \dot v=a\end{cases}\]

这就是状态空间方法的起源：把高阶方程化成一阶方程组，用向量和矩阵表示。

\[\dot{\boldsymbol x}=f(\boldsymbol x,\boldsymbol u)\]

其中 $\boldsymbol x$ 是状态向量（如 $[\delta p,\delta v,\delta\phi,b_g,b_a]$），$\boldsymbol u$ 是输入（如比力、角速度）。

1.3 线性 vs 非线性¶

类型	形式	解的性质
线性	$\dot x=Fx+Gu$	可用矩阵指数解析求解，卡尔曼直接可用
非线性	$\dot x=f(x,u)$	形态任意，不能解析求解；惯导方程就是非线性

非线性处理办法：在标称状态处一阶泰勒展开 → 得到线性误差方程 → 再用线性方法（§五）。

二、一阶线性微分方程的解析解（推导）¶

2.1 标量齐次方程：$\dot x=ax$¶

解：

\[\boxed{x(t)=e^{a(t-t_0)}x(t_0)}\]

推导（分离变量法）：

\[\frac{dx}{x}=a\,dt\]

两边积分：

\[\ln|x|=a(t-t_0)+C\ \Rightarrow\ x(t)=e^{a(t-t_0)}x(t_0)\]

2.2 标量非齐次方程：$\dot x=ax+bu(t)$¶

解：

\[\boxed{x(t)=e^{a(t-t_0)}x(t_0)+\int_{t_0}^{t}e^{a(t-\tau)}\,b\,u(\tau)\,d\tau}\]

推导（常数变易法）——"先把输入当 0 求通解，再把常数换成函数"：

假设解的形式 $x(t)=e^{a(t-t_0)}c(t)$，求导：

\[\dot x=ae^{a(t-t_0)}c+e^{a(t-t_0)}\dot c\]

代入原方程，消去左边第一项 $ae^{a(t-t_0)}c$：

\[e^{a(t-t_0)}\dot c=bu\ \Rightarrow\ \dot c=e^{-a(t-t_0)}bu\]

积分并代回（注意 $\tau$ 是积分变量、$t$ 是上限）：

\[c(t)=c(t_0)+\int_{t_0}^{t}e^{-a(\tau-t_0)}bu(\tau)\,d\tau\]

\[x(t)=e^{a(t-t_0)}x(t_0)+\int_{t_0}^{t}e^{a(t-\tau)}bu(\tau)\,d\tau\quad\checkmark\]

2.3 矩阵情形（惯导真正用的）¶

把标量换成矩阵：

\[\dot x=Fx+Gw\]

解（乘号顺序不能乱，$F$ 与 $G$ 不可交换）：

\[\boxed{x(t)=e^{F(t-t_0)}x(t_0)+\int_{t_0}^{t}e^{F(t-\tau)}Gw(\tau)\,d\tau}\]

推导完全照搬常数变易法：

先求齐次解 $x_h(t)=e^{F(t-t_0)}x(t_0)$（验证：$\dfrac{d}{dt}e^{Ft}=Fe^{Ft}$）；
设 $x(t)=e^{F(t-t_0)}c(t)$，求导代入，得 $\dot c=e^{-F(t-t_0)}Gw$；
积分再代回，保序：$e^{F(t-\tau)}$ 左乘 $G$，$w$ 在最右。

物理直觉：第一项 = 初始状态自由演化；第二项 = 输入/噪声在历史各时刻的贡献，被系统动力学"记忆"并叠加到终点。 这就是"历史每一瞬间的扰动都要乘上转移矩阵才能到达现在"的积分核。

三、矩阵指数：解法、性质与计算¶

3.1 定义¶

\[e^{F\Delta t}=I+F\Delta t+\frac{(F\Delta t)^2}{2!}+\frac{(F\Delta t)^3}{3!}+\cdots\]

3.1.1 为什么这个级数"在 0 处展开"？¶

你可能会问：凭什么展开点是 $x=0$，而不是别的？

这个级数其实是矩阵值函数 $\Phi(x)=e^{Fx}$ 在 $x=0$ 处的泰勒（麦克劳林）展开，把 $x=\Delta t$ 代进去就得到 $e^{F\Delta t}$。选 0 不是任意的，有三个原因：

它是定义本身：矩阵指数就是由这条幂级数定义的（对标量 $e^x=1+x+x^2/2!+\cdots$）。定义式天然是"在 0 处展开"的形式。
0 是唯一一个"答案已知"的点：当 $x=0$（时间没流过），任何系统都"没动"，所以 $e^{F\cdot 0}=I$——单位阵。不管 $F$ 长什么样，转移矩阵在零时刻恒等于 $I$，这是所有状态转移矩阵共有的"锚点"。拿别的点 $x=a$ 展开，你反而得先知道 $e^{Fa}$ 才能写系数，没意义。
它永远收敛：对矩阵来说 $e^{Fx}$ 是整函数（级数对一切 $F$、一切 $x$ 都收敛），所以在 0 处展开既合法又最干净，再代 $x=\Delta t$ 即可。

一句话："在 0 展开"是因为 0 是转移矩阵唯一天然等于 $I$ 的点，而矩阵指数本来就是按这个级数定义的。

3.2 性质（背下来）¶

性质	公式
单位元	$e^{F\cdot 0}=I$
半群	$e^{F(t_1+t_2)}=e^{Ft_1}e^{Ft_2}$（同一 $F$）
可逆	$(e^{Ft})^{-1}=e^{-Ft}$
微分	$\dfrac{d}{dt}e^{Ft}=Fe^{Ft}=e^{Ft}F$（与 $F$ 可交换）
相加（仅当可交换）	$F_1F_2=F_2F_1\ \Rightarrow\ e^{F_1+F_2}=e^{F_1}e^{F_2}$
相加（一般情况）	$e^{F_1+F_2}\neq e^{F_1}e^{F_2}$ ⚠️

矩阵不可交换是最容易踩的坑

导数篇里 $e^{a+b}=e^ae^b$ 对标量永远成立；对矩阵只有 $F_1,F_2$ 可交换时才成立。惯导里把姿态转矩阵与速度耦合分开处理、把 $F$ 分块积分，处处都是因为"不能随便交换"。

3.3 计算方法（四种）¶

方法 1：泰勒展开——$F$ 幂零或 $\Delta t$ 很小时合适。

例：$F=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$，$F^2=0$，所以

\[e^{F\Delta t}=I+F\Delta t=\begin{bmatrix}1&\Delta t\\0&1\end{bmatrix}\]

方法 2：对角化——$F=V\Lambda V^{-1}$，$\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$：

\[e^{F\Delta t}=V e^{\Lambda\Delta t}V^{-1},\qquad e^{\Lambda\Delta t}=\mathrm{diag}(e^{\lambda_1\Delta t},\dots,e^{\lambda_n\Delta t})\]

方法 3：拉普拉斯变换：

\[e^{F\Delta t}=\mathcal L^{-1}\{(sI-F)^{-1}\}\]

方法 4：Cayley-Hamilton 定理——$e^{F\Delta t}$ 可写成 $I,F,F^2,\dots,F^{n-1}$ 的线性组合（系数由特征多项式定）。

3.4 数值例子：简谐振子（二维）¶

\[F=\begin{bmatrix}0&1\\-\omega^2&0\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ \lambda=\pm j\omega\]

对角化/级数可得：

\[e^{F\Delta t}=\begin{bmatrix}\cos\omega\Delta t & \frac{1}{\omega}\sin\omega\Delta t\\ -\omega\sin\omega\Delta t & \cos\omega\Delta t\end{bmatrix}\]

物理意义：位置与速度随时间振荡，矩阵指数给出振荡的相位和幅度。惯导里的舒勒振荡（84.4min）就是同款结构——只是耦合矩阵更复杂，见 09 纯惯导误差传播。

3.5 物理意义总结¶

$e^{F\Delta t}$ 表示状态在 $\Delta t$ 时间内在系统动力学 $F$ 支配下的自由演化转移矩阵。对惯导：它就是"上一个采样时刻的误差状态，线性推进到这一个采样时刻"的那张矩阵——离散后的 $F_d$。

四、连续 → 离散：$F_d$ 与 $Q_d$（课程核心推导）¶

4.1 离散状态方程¶

对连续 $\dot x=Fx+Gw$ 在一个采样周期 $[t_{k-1},t_k]$ 上积分（$\Delta t=t_k-t_{k-1}$）：

\[x_k=e^{F\Delta t}x_{k-1}+\int_{t_{k-1}}^{t_k}e^{F(t_k-\tau)}Gw(\tau)\,d\tau\]

定义

\[F_d=e^{F\Delta t},\qquad w_{k-1}=\int_{t_{k-1}}^{t_k}e^{F(t_k-\tau)}Gw(\tau)\,d\tau\]

于是离散状态方程：

\[\boxed{x_k=F_d\,x_{k-1}+w_{k-1}}\]

4.2 离散噪声协方差 $Q_d$（完整推导）¶

假设：$w(t)$ 是连续白噪声，$\mathbb E[w(t)]=0$，$\mathbb E[w(t)w(\tau)^T]=Q_c\,\delta(t-\tau)$，$Q_c$ 为连续噪声强度。

$w_{k-1}$ 的协方差：

\[Q_d=\mathbb E[w_{k-1}w_{k-1}^T]=\mathbb E\left[\int\int e^{F(t_k-\tau_1)}Gw(\tau_1)\,w(\tau_2)^T G^T e^{F^T(t_k-\tau_2)}\,d\tau_1 d\tau_2\right]\]

期望穿过积分，只剩白噪声的相关函数 $\mathbb E[w(\tau_1)w(\tau_2)^T]=Q_c\delta(\tau_1-\tau_2)$，$\delta$ 把二重积分压成一重：

\[\boxed{Q_d=\int_0^{\Delta t}e^{F(\Delta t-\tau)}GQ_cG^Te^{F^T(\Delta t-\tau)}\,d\tau}\]

4.3 一阶近似（工程最常用）¶

若 $\Delta t$ 很小，$e^{F(\Delta t-\tau)}\approx I$：

\[Q_d\approx GQ_cG^T\Delta t\]

这就是卡尔曼代码里 Qd = G*Qc*G'*dt 的来源。

4.4 精确计算例子：一维位置-速度（$Q_d$ 的完整来历）¶

\[F=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\qquad G=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ e^{F\tau}G=\begin{bmatrix}\tau\\1\end{bmatrix}\]

\[Q_d=Q_c\int_0^{\Delta t}\begin{bmatrix}\tau\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\tau&1\end{bmatrix}d\tau =Q_c\begin{bmatrix}\frac{\Delta t^3}{3} & \frac{\Delta t^2}{2}\\ \frac{\Delta t^2}{2} & \Delta t\end{bmatrix}\]

4.5 $Q_d$ 的物理意义¶

$Q_{vv}=Q_c\Delta t$：速度方差与时间成正比（白噪声积分一次）；
$Q_{pp}=Q_c\Delta t^3/3$：位置方差与时间的立方成正比（再积分一次）——纯惯导位置误差为什么必然发散，就写在这；
$Q_{pv}=Q_c\Delta t^2/2$：位置与速度因为同源噪声而相关（协方差非零）。

直觉：加速度噪声积分一次得速度、再积分一次得位置；位置和速度来自同一个噪声源，所以相关。$Q_d$ 不是对角阵该有的样子——它们天然互相耦合。

五、非线性线性化：从 $f(x)$ 到 $F$（雅可比）¶

5.1 为什么需要线性化¶

惯导方程 $\dot x=f(x,u)$ 是非线性的，卡尔曼只认线性。方法：在标称状态 $\hat x$ 处一阶泰勒展开：

\[f(x)\approx f(\hat x)+\underbrace{\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\hat x}}_{F(\hat x)}(x-\hat x)\]

其中雅可比矩阵

\[F_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\]

岔路口：F/G 是从哪来的？和"怎么解"是两回事 学完 §二的常数变易法，容易误以为"要求 F、G 也得走一遍 ODE 求解"。其实常数变易法求的是"解 $x(t)$"，不是矩阵 F、G。F、G 的来源只有一步——把物理规律写成一阶状态方程： - 线性系统 $\dot x=Fx+Gu$：F、G 就是状态、输入前的系数矩阵，从牛顿/运动学方程直接"读"出来（经典力学写成一阶形式即可，不需要任何积分）。例如 $\dot p=v,\ \dot v=a$ 拼成 $$\begin{bmatrix}\dot p\\ \dot v\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p\\ v\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}a$$ F、G 一眼读出，根本不用解微分方程。 - 非线性系统 $\dot x=f(x,u)$：F 不再是常数矩阵，而是在当前估计点对 $f$ 求雅可比 $F=\partial f/\partial x$（见上）。

一句话：线性 → F/G 是常数系数，直接读；非线性 → F 是标称点的雅可比。常数变易法 / 矩阵指数只负责"已知 F、G 后怎么把解写出来"。

5.2 误差方程¶

定义误差 $\delta x=x-\hat x$，则

\[\boxed{\delta\dot x=F(\hat x)\,\delta x+Gw}\]

这就是"误差状态方程"——ESKF 的全部家当（详见 11 EKF 与 ESKF）。$F(\hat x)$ 依赖当前估计，所以是线性时变的，每个采样周期都要重新算。

5.3 惯导实例：速度方程对状态的偏导¶

速度微分方程（n 系投影）：

\[\dot v^n=C_b^n f^b-(2\omega_{ie}^n+\omega_{en}^n)\times v^n+g^n\]

对姿态误差 $\delta\psi$ 求偏导：$\dfrac{\partial \dot v^n}{\partial \delta\psi}=-[f^n]_\times$（比力的反对称阵）；
对速度误差 $\delta v^n$ 求偏导：$\dfrac{\partial \dot v^n}{\partial \delta v^n}=-(2\omega_{ie}^n+\omega_{en}^n)\times$（哥氏+牵连项）。

这些正是 $F$ 阵里的块——怎么求，见下一节矩阵求导。

六、矩阵求导速查（构造 F/H、推卡尔曼增益的笔头功夫）¶

一句话：标量微积分只管"数"，组合导航里处处是"向量/矩阵对向量/矩阵求导"——工具是雅可比矩阵和微分的链式法则。

6.1 三个基本类型¶

求导对象	结果	说明
标量 $c$ 对向量 $x$	梯度向量 $\dfrac{\partial c}{\partial x}$	各分量偏导排成列
向量 $y$ 对向量 $x$	雅可比矩阵 $J_{ij}=\dfrac{\partial y_i}{\partial x_j}$	每行一个输出分量的梯度
标量 $c$ 对矩阵 $X$	某矩阵 $\dfrac{\partial c}{\partial X}$	逐元偏导排成同型矩阵

6.2 复合法则（链式法则，雅可比乘法）¶

若 $y=g(u)$，$u=h(x)$，则

\[\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial y}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial x}\qquad(\text{雅可比乘积，注意维度匹配})\]

惯导里的典型链条：姿态误差 $\delta\phi$ → 姿态矩阵 $C_b^n$ → 比力投影 $C_b^n f^b$ → 速度方程。写 $F$ 阵 = 把这条链逐环求导再用链式乘积串起来。

6.3 二次型与线性形式（最高频，必须背）¶

形式	导数（对 $x$）
$c=a^Tx=x^Ta$	$a$
$c=x^TAx$（$A$ 一般）	$(A+A^T)x$
$c=x^TAx$（$A$ 对称，如协方差）	$2Ax$
$y=Ax$	$\partial y/\partial x=A$
$c=x^Tx=\lVert x\rVert^2$	$2x$

卡尔曼里的出现位置：

马氏距离 $d^2=(z-Hx)^TS^{-1}(z-Hx)$ 对 $x$ 求导 → 最小化就是加权最小二乘，解得 $\hat x_{LS}$；
协方差传播 $P=FPF^T+Q$ 两边都是矩阵乘法产物；
推导卡尔曼增益：代价 $J=\mathrm{tr}(P_k^+)$（或误差方差），对增益矩阵 $K$ 求导并令导数为零——这就是增益公式 $K=PH^T(HPH^T+R)^{-1}$ 的由来（见「最小二乘 → 卡尔曼」篇预告）。

6.4 迹技巧（对矩阵求导最实用的快捷键）¶

对"标量 = 矩阵运算的迹"的形式，用迹的循环性质把目标拎出来：

\[\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(BCA)=\mathrm{tr}(CAB)\]

常用公式：

\[\frac{\partial \mathrm{tr}(AX)}{\partial X}=A^T,\qquad \frac{\partial \mathrm{tr}(X^TAX)}{\partial X}=(A+A^T)X\]

推导卡尔曼增益时，$J=\mathrm{tr}(P^+)=\mathrm{tr}[(I-KH)P^-(I-KH)^T+KRK^T]$ 展开后正是这样逐项求导的。

6.5 微分法（终极武器）¶

对复杂的矩阵表达式，直接对矩阵求导容易乱；更稳的套路是先对表达式取微分（线性化），再"除以" $dx$：

\[d(XY)=dX\,Y+X\,dY,\qquad d(X^{-1})=-X^{-1}dX\,X^{-1}\]

把标量表达式 $c$ 写成 $dc=\mathrm{tr}(A\,dX)$ 的形式，则 $\dfrac{\partial c}{\partial X}=A^T$。ESKF/旋转矩阵对时间求导（$\dot C=C[\omega]_\times$）本质就是这条。

七、从物理到卡尔曼：完整链路 + 代码对应¶

7.1 完整链路¶

物理方程：
  ṗ = v
  v̇ = C_bⁿ f^b − (2ω_ie + ω_en)×v + gⁿ
  q̇ = ½ q ⊗ [0, ω_nb^b]
        │  定义误差状态（线性化）
        ▼
误差方程：δẋ = F δx + Gw
        │  离散化（矩阵指数）
        ▼
离散误差方程：δx_k = F_d δx_{k-1} + w_k
        │  噪声传播
        ▼
Q_d = ∫₀^Δt e^{F(Δt-τ)} G Q_c Gᵀ e^{Fᵀ(Δt-τ)} dτ
        │  卡尔曼
        ▼
预测：P⁻ = F_d P⁺ F_dᵀ + Q_d
更新：K = P⁻Hᵀ(HP⁻Hᵀ + R)⁻¹

7.2 代码对应（15 态 ESKF 示意，PSINS/固件风格）¶

% —— 连续 F 阵（15 态：δp,δv,δφ,bg,ba；n 系投影）——
F = zeros(15,15);
F(1:3,4:6)  = eye(3);            % 位置 ← 速度
F(4:6,7:9)  = -skew(fn);         % 速度 ← 姿态（-比力叉乘）
F(4:6,13:15)= Cbn;               % 速度 ← 加计零偏
F(7:9,10:12)= -Cbn;              % 姿态 ← 陀螺零偏
F(10:12,10:12) = -1e-4*eye(3);   % 陀螺零偏一阶 GM 相关时间
F(13:15,13:15) = -1e-4*eye(3);   % 加计零偏一阶 GM

% —— 离散化 ——
Fd = eye(15) + F*dt + 0.5*(F*dt)^2;   % 二阶近似（Δt 小可只用一阶）
Qd = G*Qc*G'*dt;                      % 一阶近似（详见 §四.3）

与仓库现有笔记的衔接

这一套在 08 kffk F阵离散化（line-by-line）（PSINS $F$ 构造与离散）、06 机械编排方程（连续运动方程）、11 EKF 与 ESKF（误差状态线性化）里都是主咖。这篇给的是它们共同的地基：连续方程到底怎么变成代码里的 $F_d$ 与 $Q_d$。

八、常见坑¶

矩阵不可交换：$e^{F_1+F_2}\neq e^{F_1}e^{F_2}$（除非可交换）——分块、重排、简化前先问"顺序换不换得动"。
一阶近似在 $\Delta t$ 大时误差大：高频 IMU（$\Delta t$ 小）一阶够；低频/慢采样要用二阶或精确矩阵指数。
$Q_d$ 直接拍：工程常见错误是直接给个对角阵。严格做法是 §四.2 的积分；至少用 $GQ_cG^T\Delta t$ 且保留耦合项。
$Q_c$ 与 $Q_d$ 单位混淆：$Q_c$ 单位是状态²/时间，$Q_d$ 是状态²，差一个 $\Delta t$——混了滤波器几秒内发散。
连续 $F$ 与离散 $F_d$ 混淆：$F$ 连续、单位 1/s；$F_d=e^{F\Delta t}$ 离散、无量纲。代码里写的多是 $F_d$，别把 $F$ 直接乘进预测步。
线性化点要取对：$F=\partial f/\partial x$ 必须在当前估计点求值（线性时变），不是初始点。ESKF 里每周期重算 $F$ 就是这个原因。
忘记链式求导的维度：雅可比乘法的内/外层维度不匹配，是写 $F/H$ 阵最常见的编译级错误。

九、总结¶

一条主线：

\[\text{物理方程}\ \to\ \text{连续状态方程}\ \to\ \text{矩阵指数求解}\ \to\ \text{离散化}\ \to\ \text{卡尔曼滤波}\]

三个核心公式：

公式	含义
$x(t)=e^{F(t-t_0)}x_0+\int e^{F(t-\tau)}Gw\,d\tau$	连续时间解析解
$F_d=e^{F\Delta t}$	离散状态转移矩阵
$Q_d=\int_0^{\Delta t}e^{F(\Delta t-\tau)}GQ_cG^Te^{F^T(\Delta t-\tau)}d\tau$	离散过程噪声协方差

一句话：微分方程描述物理规律；矩阵指数给出解析解；离散化让卡尔曼滤波能用——$Q_d$ 是噪声穿过系统动力学传播后的结果，不是常数表里查出来的。

关联¶

系列内：惯性导航系列首页
姊妹篇：导数与微分基础（雅可比/一阶线性化的出处）· 概率统计基础（高斯/协方差传播，$P$ 与 $Q$ 的语法）· 随机过程与噪声建模（连续噪声 $Q_c$ → 离散 $Q_d$ 的物理来源）· 数学地基
应用篇：06 机械编排方程 · 08 kffk F阵离散化 · 09 纯惯导误差传播（舒勒振荡）· 11 EKF 与 ESKF（误差状态线性化）
下一篇：最小二乘 → 卡尔曼完整推导（增益 $K$ 由矩阵求导得出）

形式	导数（对 \(x\)）
\(c=a^Tx=x^Ta\)	\(a\)
\(c=x^TAx\)（\(A\) 一般）	\((A+A^T)x\)
\(c=x^TAx\)（\(A\) 对称，如协方差）	\(2Ax\)
\(y=Ax\)	\(\partial y/\partial x=A\)
\(c=x^Tx=\lVert x\rVert^2\)	\(2x\)