随机过程与噪声建模：白噪声、随机游走与 Q 阵¶

一篇会成长的笔记。IMU 的零偏不是常数，而是随机过程；卡尔曼滤波里的 \(Q\) 阵不是拍脑袋，而是由 Allan 方差标定出来的。这一篇按"定义 → 推导 → 物理/直觉 → 课程里用在哪 → 常见坑"把噪声这条线讲透：从随机过程的基础词汇（均值/自相关/功率谱），到三种核心噪声模型（白噪声、随机游走、一阶高斯-马尔可夫），最后落到 Allan 方差与 \(Q\) 阵定标。每节末尾附外链 Wiki。

核心要点¶

随机过程 = 一族随时间变化的随机变量 \(X(t)\)；刻画它的不是"一个数"，而是均值函数 + 自相关函数。
维纳-辛钦定理：自相关函数 ⟷ 功率谱密度（傅里叶变换对）——时域"记忆"与频域"功率分布"是同一件事的两种说法。
白噪声：功率谱平坦、\(R(\tau)\propto\delta(\tau)\)、无记忆 → 卡尔曼 \(Q,R\) 的默认噪声。
白噪声积分 = 随机游走（维纳过程）：方差 ∝ 时间线性增长、标准差 ∝ \(\sqrt{t}\)——这是陀螺 ARW、惯导位置误差发散的根源。
一阶高斯-马尔可夫（GM-1）：有界方差 + 相关时间 \(\tau\) → bias 建模的标配。
连续噪声密度 → 离散 \(Q_d\)：\(Q_d\approx GQ_cG^T\,\Delta t\)（更精确是矩阵指数积分）——"\(Q\) 是标定出来的，不是拍的"。
Allan 方差五指纹：QN/ARW/BI/RRW/RR，在 \(\log\sigma_A\)–\(\log\tau\) 图上各占一段斜率，用来从实测提取 \(Q\) 素材。

一、随机过程：定义与三个统计量¶

1.1 定义¶

随机过程是一族随机变量：

\[\{X(t),\ t\in T\}\]

\(t\) 离散：随机序列 \(\{X_k\}\)（IMU 采样点）；
\(t\) 连续：连续时间随机过程（真实物理量）。

两个视角：固定 \(t\)，\(X(t)\) 是一个随机变量（掷骰子）；固定一个样本，\(X(t)\) 是一条样本轨道/实现（一次采集到的整条数据）。

1.2 三个核心统计量（替代普通随机变量的期望/方差）¶

均值函数（每个时刻所有实现的平均）：

\[\mu_X(t)=\mathbb E[X(t)]\]

自相关函数（两个时刻之间的"关联强度"）：

\[R_X(t_1,t_2)=\mathbb E[X(t_1)X(t_2)]\]

自协方差函数（去均值后的自相关，\(t_1=t_2\) 时就是方差）：

\[C_X(t_1,t_2)=\mathbb E\big[(X(t_1)-\mu_X(t_1))(X(t_2)-\mu_X(t_2))\big]\]

直觉：自相关回答"这个噪声有没有记忆"——是每步独立（白噪声），还是一步连一步（随机游走），还是衰减记忆（GM-1）。这直接决定它会不会被积分放大、要不要放进状态方程。

二、平稳性与遍历性（为什么能"用一段数据估计"）¶

2.1 严平稳¶

任意有限维联合分布对时间平移不变：统计特性"不随开机时间变"。工程里近似成立的假设。

2.2 宽平稳（够用即可）¶

均值为常数：\(\mu_X(t)=\mu\)；
自相关只依赖时间差：\(R_X(t_1,t_2)=R_X(\tau)\)，\(\tau=t_2-t_1\)。

宽平稳下的自协方差就是 \(C_X(\tau)=R_X(\tau)-\mu^2\)，\(C_X(0)=\mathrm{Var}\)。

2.3 遍历性（工程前提）¶

时间平均 = 集合平均：

\[\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_0^T X(t)\,dt=\mathbb E[X]\]

直觉：若过程遍历，一条足够长的实测数据就能代替"无穷多个样本"，统计量可直接从这段数据估计——Allan 方差正是靠"静置一条几小时数据"来读噪声参数，依赖的就是这个。

三、功率谱密度（维纳-辛钦定理）¶

一句话：频率域的"功率分布"是时间域自相关的傅里叶变换。

对宽平稳过程：

\[S_X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}R_X(\tau)\,e^{-j\omega\tau}\,d\tau\]

\[R_X(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_X(\omega)\,e^{j\omega\tau}\,d\omega\]

物理意义：

\(S_X(\omega)\) 描述各频率成分的功率；
白噪声的 \(S_X(\omega)\) 是常数（各频率均匀 → 白）；
IMU 噪声的 Allan 方差与 \(S_X(\omega)\) 有直接对应——频域是看清"低频漂移 vs 高频抖动"的放大镜；随机游走 \(S\propto\omega^{-2}\)（低频强）、白噪声 \(S=\text{const}\)、GM-1 是低通 \(\dfrac{2\sigma^2T_c}{1+\omega^2T_c^2}\)。

四、白噪声（最基础的一块砖）¶

4.1 定义¶

连续时间白噪声 \(w(t)\) 满足

\[\mathbb E[w(t)]=0,\qquad R_w(\tau)=\mathbb E[w(t)w(t+\tau)]=q\,\delta(\tau)\]

其中 \(\delta(\tau)\) 是狄拉克函数，\(q\) 是噪声强度（功率谱值）。

功率谱：

\[S_w(\omega)=q,\qquad \forall\omega\]

"白" = 所有频率功率相等（像白光）。时域看：任何两个不同时刻都不相关（无记忆）。

4.2 离散白噪声（卡尔曼实际用的）¶

\[w_k\sim\mathcal N(0,Q),\qquad \mathbb E[w_k]=0,\qquad \mathbb E[w_kw_j^T]=Q\,\delta_{kj}\]

即 i.i.d. 高斯序列。这就是卡尔曼 \(Q\) 阵、\(R\) 阵的默认形状。

4.3 连续→离散（推导 \(Q_d\)，课程核心换算）¶

设连续系统

\[\dot x=Fx+Gw\]

其中 \(w\) 是强度 \(Q_c\) 的连续白噪声。采样间隔 \(\Delta t\) 离散化：

\[x_{k+1}=F_d x_k+w_k\]

\[F_d\approx I+F\Delta t+\frac{(F\Delta t)^2}{2!}+\cdots=e^{F\Delta t}\]

\[Q_d\approx GQ_cG^T\,\Delta t\]

更精确（状态转移期间的积分，EKF 里 F 变雅可比时用）：

\[Q_d=\int_0^{\Delta t}e^{F\tau}GQ_cG^T e^{F^T\tau}\,d\tau\]

这就是卡尔曼 \(Q\) 阵的来源

千万别把连续 \(Q_c\) 直接塞进离散滤波器。物理含义：连续噪声密度 \(q\)（rad/s/√Hz）× 采样间隔 \(\Delta t\) = 一个采样周期内累积的离散噪声方差 \(Q_d=q\,\Delta t\)。后面 §八的 ARW→Q 换算就是这条公式。

五、随机游走（= 白噪声的积分）¶

5.1 定义与推导¶

离散随机游走：

\[x_k=x_{k-1}+w_{k-1},\qquad w_{k-1}\sim\mathcal N(0,Q)\]

展开：

\[x_k=x_0+\sum_{i=0}^{k-1}w_i\]

均值（漂移中心不动）：

\[\mathbb E[x_k]=x_0\]

方差（每步加一份，逐年线增长——关键结论）：

\[\mathrm{Var}(x_k)=\sum_i \mathrm{Var}(w_i)=kQ\]

即 \(\sigma_x\propto\sqrt{t}\)。

5.2 连续形式：维纳过程（布朗运动）¶

\[\dot x=w(t)\ \Rightarrow\ x(t)=x(0)+\int_0^t w(s)\,ds\]

这就是维纳过程（数学上对白噪声积分，严格定义是"不可导"的，工程上理解成"每步随机加一点"即可）。

5.3 课程对应¶

陀螺/加计零偏常用随机游走建模：\(\dot b=w_b\)（bias 随机游走）；
姿态误差、速度误差中的随机驱动项就是随机游走型；
对应 \(Q\) 阵的 bias 块（见 §八）。

物理直觉：白噪声进积分器一次就"长毛"成随机游走——这解释了 ARW（角速率白噪声积分一次 → 角度随机游走，°/√h）以及纯惯导位置误差为什么必然增长。

六、一阶高斯-马尔可夫过程（GM-1，bias 建模标配）¶

6.1 连续形式¶

\[\dot x=-\frac{1}{T_c}x+w\]

\(T_c\)：相关时间（记住自身的时长）；
\(w\)：强度 \(q\) 的白噪声。

6.2 离散形式（卡尔曼状态方程直接可用）¶

\[x_k=e^{-\Delta t/T_c}\,x_{k-1}+w_{k-1}\]

\[w_{k-1}\ \text{方差}=\frac{qT_c}{2}\left(1-e^{-2\Delta t/T_c}\right)\]

当 \(\Delta t \ll T_c\)（采样远比相关时间密）时，\(\mathrm{Var}(w)\approx q\Delta t\)，与白噪声离散化自洽。

极限情形（退化的连续谱）：\(T_c\to\infty\) 退化为随机游走；\(T_c\to 0\) 退化为白噪声。

6.3 性质：自相关与功率谱¶

自相关：\(R_x(\tau)=\sigma^2 e^{-|\tau|/T_c}\)——指数衰减的记忆；
功率谱：\(S_x(\omega)=\dfrac{2\sigma^2T_c}{1+\omega^2T_c^2}\)（一阶低通）。

稳态方差有界：\(\sigma^2=\dfrac{qT_c}{2}\)——不像随机游走那样无限涨。

6.4 课程对应¶

IMU 零偏常用一阶 \(\mathrm{GM}\) 建模：\(\dot b=-\frac{1}{T_c}b+w_b\)；
比纯随机游走更真实：零偏不会无限漂移（有界 + 相关时间）；
状态增广时把 \(b\) 放进状态向量，卡尔曼滤波同时估计（ESKF 15 态里的 bg/ba）。

七、Allan 方差：从实测读出噪声指纹¶

7.1 为什么要 Allan 方差¶

IMU 静止采集数据，普通方差只给"一个抖动总量"，分不清是谁贡献的。Allan 方差按不同聚类时长重新切片，把噪声按频段拆开：

角度随机游走 ARW（陀螺白噪声）
速度随机游走 VRW（加计白噪声）
零偏不稳定性 BI（1/f 噪声平台）
速率随机游走 RRW（bias 随机游走）
量化噪声 QN（ADC 量化）

7.2 定义（聚类平均的相邻差）¶

对陀螺输出 \(\omega(t)\)，采样间隔 \(\tau_0\)，聚类时间 \(\tau=m\tau_0\)。每段平均：

\[\bar\omega_k(\tau)=\frac{1}{\tau}\int_{t_k}^{t_k+\tau}\omega(t)\,dt\]

Allan 方差（相邻两段平均的方差的一半）：

\[\sigma_A^2(\tau)=\frac12\left\langle\big(\bar\omega_{k+1}(\tau)-\bar\omega_k(\tau)\big)^2\right\rangle\]

Allan 标准差：

\[\sigma_A(\tau)=\sqrt{\sigma_A^2(\tau)}\]

7.3 双对数曲线斜率（5 段指纹）¶

在 \(\log\sigma_A(\tau)\) vs \(\log\tau\) 图上：

噪声类型	斜率	含义
量化噪声 QN	\(-1\)	ADC 量化 / 数据截断
角度随机游走 ARW	\(-1/2\)	白噪声积分（最快一项）
零偏不稳定性 BI	\(0\)（平台）	1/f 噪声平台值
速率随机游走 RRW	\(+1/2\)	bias 的随机游走
速率斜坡 RR	\(+1\)	确定性漂移（温度/老化）

Allan 曲线五段噪声指纹

7.4 参数提取¶

ARW：\(\sigma_A(\tau)=\dfrac{N}{\sqrt{\tau}}\)（\(-1/2\) 段拟合），\(N\) 是角度随机游走系数 [°/√h]；
BI：曲线最低点（平台值）\(\sigma_{\min}=B\cdot 0.664 \Rightarrow B=\sigma_{\min}/0.664\) [°/h]；
RRW：\(+1/2\) 段拟合得 \(K\) [°/h^{1.5}]。

7.5 与卡尔曼 \(Q\) 的关系¶

ARW → 陀螺白噪声 → \(Q\) 的姿态部分；
VRW → 加计白噪声 → \(Q\) 的速度部分；
BI / RRW → bias 随机游走 → \(Q\) 的 bias 部分。

于是

\[Q=\begin{bmatrix} Q_{\text{姿态}} & 0 & 0\\ 0 & Q_{\text{速度}} & 0\\ 0 & 0 & Q_{\text{bias}} \end{bmatrix}\]

具体把 Allan 读出的 \(N\)、\(B\)、\(K\) 换算成连续噪声密度、再乘 \(\Delta t\) 进离散 \(Q_d\) 的完整流程与 PSINS/MATLAB/Python 实操，见 05 Allan 方差（含 ICM-42688P 实测 → ARW/BI）。

八、从噪声系数到 \(Q\) 阵（含单位换算）¶

目标：把 Allan 参数变成卡尔曼能用的离散 \(Q_d\)。

陀螺 ARW \(N\)[°/√h] → 连续角速率噪声密度 \(\sigma_g\)[rad/s/√Hz]：

\[\sigma_g=N\cdot\frac{\pi}{180\cdot 60}\]

加计 VRW \(V\)[m/s/√h] → \(\sigma_a=V\cdot\dfrac{1}{60\sqrt{3600}}\) [m/s²/√Hz]。

零偏不稳定性 \(B\)[°/h] → bias 驱动密度：

\[\sigma_b=B\cdot\frac{\pi}{180\cdot 3600}\ \text{[rad/s²/√Hz]}\]

离散化（§四.3）：每个采样间隔 \(\Delta t\) 上

\[Q_d^{(g)}=\sigma_g^2\,\Delta t,\qquad Q_d^{(b)}=\sigma_b^2\,\Delta t\]

量纲与符号（易错）

连续密度是 \(\sqrt{\text{Hz}}\) 倒数、离散 \(Q\) 是"每步方差"——两者差一个 \(\Delta t\)，忘记换算等于 \(Q\) 差 N 个数量级；
\((HPH^T+R)\) 里 \(R\) 必须与 \(H x\) 同量纲（位置/m、速度/(m/s)），NEES/NIS 才能出对。

九、课程里用在哪¶

IMU 噪声建模：ARW、VRW、bias 随机游走 / GM-1（§五、§六）；
\(Q\) 阵定标：Allan 方差 → 连续噪声强度 → 离散 \(Q_d\)（§七、§八）；
零偏估计：把 bias 增广进状态，用随机游走或 GM-1 建模（ESKF 15 态）；
组合导航滤波：GNSS 噪声用白噪声建模进 \(R\)，IMU 噪声进 \(Q\)（§四、§八）；
一致性检验：新息协方差应与 \(S=HPH^T+R\) 匹配（见概率统计基础 §七）；
仿真：用随机游走、GM 过程生成 IMU 仿真数据（PSINS imuerrset / imudeldrift 等）。

十、常见坑¶

把 bias 当常数：实际是随机过程，必须建模（随机游走或 GM-1），否则滤波把 bias 吃进位置估计。
\(Q\) 拍脑袋给：应由 Allan 方差标定（\(Q\) 太大过动、太小自负，NEES/NIS 可诊断）。
混淆连续噪声强度与离散 \(Q\)：差一个 \(\Delta t\) 或一次积分（§四.3、§八）。
忘记相关时间 \(T_c\)：把 GM-1 当随机游走（\(T_c\to\infty\)）会低估长期漂移；bias 建模时相关时间要明确。
Allan 数据不够：\(\tau\) 窗口不够长，曲线不平滑、长 \(\tau\) 段（BI/RRW）提取不准——通常要静置 4~8 小时。
\(R\) 与 \(Q\) 量纲不匹配：状态与观测单位必须统一（rad/°/m…），否则增益 \(K\) 完全失真。

十一、两部分的连接：从噪声到卡尔曼（完整链路）¶

IMU 静止采集数据；
Allan 方差分析 → 提取 ARW、VRW、bias 参数；
建立连续噪声模型：\(\dot b=w_b\)，\(w_b\sim\mathcal N(0,Q_c)\)；
离散化：\(Q_d\approx GQ_cG^T\Delta t\)；
构建 15 维误差状态方程：\(\dot{\delta x}=F\,\delta x+Gw\)；
卡尔曼预测：\(P^-=FPF^T+Q_d\)；
GNSS 观测更新：\(K=PH^T(HPH^T+R)^{-1}\)；
反馈校正 → 闭环组合导航。

这套链路里：概率统计给了 6、7 两步（条件高斯与协方差传播），随机过程给了 2、3、4、5 步（噪声建模与 \(Q\) 定标）。两边合起来，\(P^-=FPF^T+Q\) 和 \(K=PH^T(HPH^T+R)^{-1}\) 就不只是公式，而是有明确物理和统计意义的系统语言。

一句话总结¶

随机过程：IMU 噪声不是白噪声，而是随机游走 / 一阶 GM；\(Q\) 阵由 Allan 方差标定；
三种基本噪声从频域看"各归其位"：白噪声（平坦谱）→ 随机游走（\(\omega^{-2}\)）→ GM-1（一阶低通），对应 \(R\) 阵、\(Q\) 的姿态/速度块、\(Q\) 的 bias 块。

关联¶

系列内：惯性导航系列首页
姊妹篇：概率统计基础（高斯 / 协方差传播 / \(Q,R\) 的统计出身）· 数学地基
应用篇：04 IMU 误差模型（零偏/标度/随机游走建模）· 05 Allan 方差（五指纹提取与 \(Q\) 定标）· 09 纯惯导误差传播（噪声积分放大）· 10 卡尔曼滤波基础 · 11 EKF 与 ESKF · 14 一致性检验