坐标变换与旋转矩阵（推导入门）¶

一句话：姿态的本质是一个 3×3 旋转矩阵。本篇从"坐标系怎么转"的第一性原理出发，把单个轴的旋转矩阵、旧系→新系的"搬家"含义、三个角怎么合成、以及主动/被动旋转的区别一次讲清楚。

💡 如果你卡在更前面一步 —— "凭什么一堆数字（矩阵）就能代表旋转？" —— 请先看下面紧跟着的第零节，它只用加减乘就把这件事拆开了，读完再回第一节。

零、在看任何公式之前：矩阵凭什么代表旋转？¶

如果下面第一节的 \(R_x,R_y,R_z\) 让你觉得"这些数字凭什么就是旋转"，先把这一节读完。它不依赖后面任何内容，全程只有加减乘。

0.1 先破一个误解¶

矩阵里没有任何"旋转的动作"。矩阵是一张照片 —— 转完之后，坐标系长什么样。

教材常把"动作"和"结果"混着讲，于是你会觉得旋转是被某种魔法"赋予"给矩阵的。实际上顺序是反的：先规定基向量搬到哪儿，矩阵自己就长出来了。

0.2 第一步：矩阵 × 向量，其实只有一种算法¶

忘掉"行乘列"的口诀。记 \(R\) 的两个列向量为 \(c_1,\ c_2\)，向量 \(v=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\)，那么真正的定义只有一句：

矩阵乘向量 = 拿向量的每个分量去给矩阵的列当权重，然后加起来。 纯算术，零几何。

0.3 第二步：所以"列"到底是什么？¶

把单位向量 \(e_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\) 喂进去，套上面那句定义（此时 \(a=1,\ b=0\)）：

第 1 列，就是 \(e_1\) 被这个矩阵送到的地方。 同理，第 2 列就是 \(e_2\) 的落点。

这是全篇最该记住的一句：矩阵的列不是数字排列，是"基向量搬家后的新地址"。

0.4 第三步：想转 θ，只需要问两个问题¶

现在反过来用 —— 不是"写出矩阵再猜它干嘛"，而是先规定落点，矩阵自己就填满。

下面画的是主动旋转的画面（箭头自己转、坐标系钉死不动），因为它最直观；本文正文从第一节起改用被动旋转（坐标系转），差别见紧接着的 0.4b。

• \(e_1\)（指向正右方、长度 1）逆时针转 θ 后落在哪？→ 单位圆上 θ 角处 → \((\cos\theta,\ \sin\theta)\) → 第 1 列
• \(e_2\)（指向正上方）跟着转 θ 后落在哪？→ 比 \(e_1\) 超前 90° → \((-\sin\theta,\ \cos\theta)\) → 第 2 列

两列并起来：

矩阵不是被"赋予"了旋转含义，而是你用两个落点把它填满之后，它自然就只能干旋转这一件事。

0.4b 岔路口：刚才那张图是"主动"的，本文正文却是"被动"的¶

两者不是谁对谁错，而是同一件事的两种说法，并且互为转置：

那 0.2–0.3 的"列 = 新地址"还成立吗？成立 —— 但"地址"换了量法：

所以"看列"这个动作两边通用，别以为换了约定前面就白学了 —— 变的只是"地址在哪种坐标里量"。 惯导里 99% 的坐标变换（\(C_b^n\)、\(C_n^b\)）都是被动的，这才是本文正文选被动的原因；完整的主动/被动对比与可拖拽演示见第四节。

0.5 验算：它真的只是旋转吗？¶

取 θ = 40°、\(v=(2,1)\)，\(\cos40^\circ=0.766\)，\(\sin40^\circ=0.643\)：

两条检验：

• 长度不变：\(|v|=\sqrt{5}=2.236\)，\(|Rv|=2.236\) → 没有拉伸；
• 两列仍是单位长且互相垂直：点积 \(=0\)、每列模长 \(=1\) → 没有剪切。

一个矩阵只要满足"列是单位长度 + 互相垂直"，它只能做两件事：旋转（\(\det=+1\)）或镜像（\(\det=-1\)）。这里 \(\det R=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1>0\)，所以是旋转，不是翻面。

0.6 动起来看 / 亲手拖¶

会循环播放的版本（θ 从 0° 转到 360°）：

👉 旋转矩阵三步推导 · 交互演示

交互页里可以：切换 ①②③ 三步、拖 θ / a / b、点"自动扫一遍"。右侧读数会实时显示两列数值、\(\det R\)、以及 \(|v|\) 与 \(|Rv|\) 的对比。

0.7 用同一双眼睛回头看第九节的 P 矩阵¶

• 第 1 列 \(=(0,1,0)\) → 原来的 x 轴搬到 y 的位置（东改叫北）
• 第 2 列 \(=(1,0,0)\) → 原来的 y 轴搬到 x（北改叫东）
• 第 3 列 \(=(0,0,-1)\) → z 轴原地反向（上改叫下）

P 不是旋转，是"把三个轴重新贴标签"。 但它和旋转矩阵用的是完全相同的读法 —— 看列，看基向量搬去哪了。旋转是"搬家"，P 是"改名"，操作形式一模一样，都是矩阵。

这也解释了为什么 \(C_{NED}=P\,C_{PSINS}\,P'\) 要左乘一次、右乘一次：左边 \(P\) 换输出那头的标签，右边 \(P'\) 换输入那头的标签，两头名字都换完，中间的旋转本身一点没动。

一、先把单个轴的旋转矩阵讲清楚¶

设 \(c_\alpha=\cos\alpha,\ s_\alpha=\sin\alpha\)。在被动旋转约定下，绕各轴的单轴矩阵为：

绕 X 轴（横滚 \(\phi\)）：

绕 Y 轴（俯仰 \(\theta\)）：

绕 Z 轴（偏航 \(\psi\)）：

这些矩阵是怎么来的？ 旋转只发生在"垂直于旋转轴的那个平面"里，该平面内 2×2 的投影子块就是 \(\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}\)（被动形式；很多教材的主动形式是它的转置 \(\begin{bmatrix}c&-s\\s&c\end{bmatrix}\)）。X、Y、Z 轴的不同，只在于"旋转发生在哪两根轴之间"。

为什么绕 X、Z 的符号一致，绕 Y 的子块却像是被"转置"了？¶

这是本篇最该记住的一点。对比上面三个矩阵的 2×2 子块：

• 绕 X：变化在 Y–Z 平面，子块 \(\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}\)
• 绕 Z：变化在 X–Y 平面，子块 \(\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}\)
• 绕 Y：变化在 X–Z 平面，子块 \(\begin{bmatrix}c&-s\\s&c\end{bmatrix}\) ← 中间那对符号反了

底层机理 = 右手系的循环顺序；而且三轴其实遵守同一条规则。 正循环是 \(X \rightarrow Y \rightarrow Z \rightarrow X\)（叉乘满足 \(X\times Y=Z,\ Y\times Z=X,\ Z\times X=Y\)）。绕任意轴旋转时，垂直平面里的 2×2 子块，只要按"循环正方向（下一轴 → 上一轴）"来排，都是同一个样子 \(\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}\)（被动形式）：

• 绕 X：垂直平面 Y–Z，循环正方向 Y→Z → \(\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}\)
• 绕 Z：垂直平面 X–Y，循环正方向 X→Y → \(\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}\)
• 绕 Y：垂直平面 Z–X，循环正方向 Z→X → 按 (Z,X) 顺序写本来也是 \(\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}\)

那为什么 Y 写出来像被转置了？ 因为矩阵按 [X,Y,Z] 的列顺序排，Y 是中间那根轴，它的垂直平面 (Z,X) 被拆到了矩阵的两个对角 (1,3) 和 (3,1)，而不是像 X、Z 那样落在一个连续的 2×2 块里。于是"下一轴→上一轴"的正向符号（+s）出现在左下角 (3,1)，视觉上就和 X、Z 的"右下角 (2,3)/(1,2) 是 +s"左右镜像了——本质是同一条规则，只是被矩阵的列书写顺序"扭"了一下。

结论：绕 Y 的符号不是写错，也不是特例，更不是"X→Z 逆循环"。三根轴都遵守同一条右手系循环规则；Y 的子块之所以看着像转置，纯粹是因为 Y 是中间轴、它的 2×2 块被摊到了矩阵的两个对角。配图把三张子矩阵并排摆出来，一眼就能看出 Y 是"那个不同的"。

二、"旧系 → 新系"：这就是坐标变换（被动旋转的含义）¶

上面每个单轴矩阵，描述的其实是同一件事：向量原地不动，坐标系转了一个角，然后读出这个向量在新坐标系下的坐标。这就是"旧系 → 新系"的搬家公式。

记旧坐标系为 1、新坐标系为 2，被动旋转矩阵 \(C_1^2\) 的含义就是：

即"把旧系坐标 \(\mathbf{v}^{(1)}\) 左乘 \(C_1^2\)，得到新系坐标 \(\mathbf{v}^{(2)}\)"。

直觉例子：绕 Z 把坐标系逆时针转 \(+\theta\)。旧系里一个在 \(\phi\) 方向的向量，在新系里"看起来"夹角变成了 \(\phi-\theta\)（因为坐标系自己转走了）。这正是上面 \(R_z\) 矩阵在做的运算。

所以第一章的三个单矩阵，本质就是"绕某轴转 θ 时，旧坐标→新坐标"的投影算子。 被动旋转 = 坐标轴在动、世界没动；我们只是换了一副"眼镜"看同一个向量。

三、三个角合起来：乘法顺序与 \(C_n^b\) 等式¶

单轴解决了，怎么把横滚、俯仰、偏航三个角合成一个完整的姿态矩阵？

惯导里最常见的约定是 Z–Y–X 外禀（固定轴）顺序：先偏航 \(\psi\)（绕 Z）、再俯仰 \(\theta\)（绕 Y）、最后横滚 \(\phi\)（绕 X）。写成矩阵左乘：

记忆口诀：矩阵从右往左读，对应旋转从先到后。最先发生的旋转（Z）放在最右边。

把三个单矩阵乘开（已数值验证）就是：

\(C_n^b\) 读作"导航系 n → 载体系 b"：把导航系下的向量，投影到载体系下。这就是把第一章的"旧系→新系"逻辑，连做三次（旧 n 依次转成新 b）的结果。

四、主动旋转 vs 被动旋转（正式对比 + 交互演示）¶

前面全程用"被动旋转"，但很多人符号搞混，根子就在没分清主动和被动。这里正式对比一下。

关键关系：对同一旋转角 θ，主动矩阵与被动矩阵互为转置。 这也回扣了第一章——你看到的"被动形式的子块"，正是主动形式的转置。

为了把这件事"看"明白，我做了一个可拖拽的交互演示（强烈建议打开玩两下）：

👉 主动 vs 被动旋转 · 交互演示

它用左右两图对比：左图向量转（主动），右图坐标系转（被动），并实时联动矩阵。重点看矩阵第 1 列（绿框）——它永远等于"旧 X 轴单位向量 \([1,0,0]^T\) 喂进矩阵的结果"：

• 主动时，旧 X 轴转到 \(+\theta\) 处 → 第一列 \([\cos\theta,\ \sin\theta]^T\)；
• 被动时，旧 X 轴相对新系落在 \(-\theta\) 处 → 第一列 \([\cos\theta,\ -\sin\theta]^T\)。

这正是"主动矩阵 = 被动矩阵转置"的几何来源，也是第一章里"绕 Y 子块像被转置"的同一套逻辑在 2D 上的体现。

五、反过来：从载体系到导航系 \(C_b^n\)¶

已知 \(C_n^b\)，要回到反向变换 \(C_b^n\)，有两种完全等价、结果一致的求法（已数值验证每个元素都相同）：

方法一：转置（最省事） —— 旋转矩阵是正交矩阵，逆等于转置：

方法二："反着转、倒着乘"（最有物理美感，不用碰转置） —— 既然 \(C_n^b\) 是把 n 系按 Z→Y→X 顺序转过去，回到 n 系就是"按完全相反的顺序、转相反的角度"：

把单矩阵角度取反（\(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\ \cos(-\alpha)=\cos\alpha\)）直接乘开，得到：

工程上我们通常用 \(C_b^n\)（机体→导航）把机载加速度计、磁力计数据投影到水平系；它也常被称为"姿态矩阵 / 方向余弦矩阵（DCM）"。

六、延伸铺垫：矢量叉乘与反对称矩阵¶

（本节只点题；完整定义、性质、数字验证与惯导联系已单独成篇 → 矢量叉乘与反对称矩阵）

矢量叉乘 \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\) 给出一个同时垂直于 a、b 的新向量，方向由右手定则决定；惯导里科氏项、姿态运动学里的 \(\boldsymbol\omega\times\) 项都源于它。为把叉乘写进矩阵运算，引入反对称矩阵 \([\mathbf{a}]_\times\)，其核心性质是：

后面你会在 ESKF 的雅可比、姿态误差方程里反复见到 \([\boldsymbol\omega]_\times\)——它就是"叉乘的矩阵写法"。双重反对称恒等式与各性质的数值验证，请移步上方链接的专篇。

七、常见坑（提前标出来）¶

八、自测题（合上能答才算懂）¶

1. 单轴被动旋转矩阵里，绕 X、Z 的子块是 \(\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}\)，绕 Y 是 \(\begin{bmatrix}c&-s\\s&c\end{bmatrix}\)。为什么会这样？一句话说清"绕 Y 子块像被转置"的几何根源。
2. 被动旋转说的是"旧系→新系"的什么操作？写出 \(C_1^2\) 把旧坐标变新坐标的公式。
3. \(C_n^b=R_xR_yR_z\) 中，矩阵乘法为什么要"从右往左读"？最先发生的旋转（Z）放在哪边？
4. 主动矩阵和被动矩阵有什么关系？为什么？
5. 已知 \(C_n^b\)，求反向 \(C_b^n\) 的两种方法各是什么？
6. 反对称矩阵 \([\mathbf{a}]_\times\) 有什么用？（提示：叉乘的矩阵写法）

答案都在上面。第 1、4 题如果还模糊，建议打开第四节的交互演示，并回看 01 坐标系与变换 与 数学地基：矩阵、概率与协方差。

九、工程实例：同一架飞机，两套坐标标签（适配阵 P）¶

前面的章节都在讲「旋转矩阵」——把一个向量在同一套坐标轴里转个角度。本节是不同的事：我们有两套不同的坐标轴命名约定，物理上指向同一方向，只是把轴的「名字」换了一套。这种情况要靠一个坐标轴改名字典来衔接，而不是旋转。

9.1 两套约定从哪来¶

• PSINS / miniins（MATLAB 版）：导航系用 ENU（东 East / 北 North / 天 Up），机体用 x=右、y=前、z=上（即「右-前-上」）。
• 固件 C 版（AHRS 板）：导航系用 NED（北 North / 东 East / 下 Down），机体用 FRD（前 Front / 右 Right / 下 Down）。

两套导航系（ENU vs NED）与两套机体系（PSINS 体 vs FRD）只是轴标签不同，物理量完全一样。要让 MATLAB 里验证过的算法能 1:1 搬到固件对拍，需要一个固定换算阵：

9.2 它到底干了什么：只是「换标签」¶

下图左边是 ENU（东/北/天），右边是 NED（北/东/下）。注意两幅图里飞机机头都朝北、物理朝向一模一样，变的只是坐标轴的名字排布：

• 第 1、2 轴交换：ENU 的（东,北）在 NED 里写成（北,东）——数值上就是把向量的前两个分量对调；
• 第 3 轴取反：天(Up) 变成 下(Down)，即 \(U=-D\)。

所以 \(P\cdot P=I\)：换两次标签回到原样，它根本没旋转任何东西，纯属「字典」。方向余弦矩阵因此按 \(C_{NED}=P\,C_{PSINS}\,P'\) 变换（先换输入轴、再换输出轴）。

9.3 动态看：逐个轴对应¶

下面这张是会动的版本——高亮会依次扫过「北↔北、东↔东、天↔地下(取反)」，你会看到飞机始终没动，变的只是标签：

9.4 亲手转一转（交互演示）¶

打开 P 矩阵交互演示：拖动滑块改变机头朝向，观察同一架飞机在 ENU 和 NED 下报出的坐标数字如何按 \(P\) 互换。结论还是那句——\(P\) 不是旋转，是坐标标签的字典。

用处：C 移植（阶段 D）做 SIL 对拍时，MATLAB 版与固件版的四元数 / DCM 必须逐位一致，差异只在 att↔DCM 转换与参考向量取值（NED 重力 G=[0;0;+g]、磁北、wnie 等）。换算就靠这里的 \(P\)。详见 Mini-INS 内化库约定。

十、动手练习：主动/被动旋转 + 惯导 4 坐标系（配 Mini-INS）¶

10.1 先认全：惯导的 4 个坐标系（i → e → n → b）¶

本文的 \(C_n^b\) 只是惯导全程在倒腾的 4 个右手直角坐标系里的最后一段。完整链条：

约定记法（与本文一致）：上标=目标系、下标=源系。\(C_a^b\) 表示「把 a 系坐标投影到 b 系」。于是从惯性系一路到机体：

（矩阵从右往左读：先 i→e，再 e→n，最后 n→b。）本文主角 \(C_n^b\) 只负责最后一段「导航系→载体系」；前面 i→e、e→n 由地球模型与位置决定，细节见 01 坐标系与变换。

10.2 五个动手练习（算一遍 + 用 Mini-INS 跑一遍）¶

练习 1 — \(C_b^n\) 与 \(C_n^b\) 互为转置（一步验证）¶

算：正文第 3 节给 \(C_n^b=R_xR_yR_z\)，第 5 节给 \(C_b^n=(C_n^b)^T=R_z(-\psi)R_y(-\theta)R_x(-\phi)\)。两者是同一旋转的正反两向，正交矩阵的逆等于转置，所以必互为转置。

跑（取一组非零姿态，直接验证）：

addpath(genpath('docs/惯性导航/assets/miniins'));
att = [10 20 30]'*pi/180;     % roll=10°, pitch=20°, yaw=30°
Cbn = euler2cnb(att);         % ★ 本库返回 C_b^n（体→导航）
Cnb = Cbn';                    % C_n^b（导航→体）= 转置
norm(Cbn*Cnb - eye(3))        % ≈ 1e-16 → 正交，印证 C_n^b=(C_b^n)^T

练习 2 — 偏航 90°：\(C_b^n\) 的第一列到底是 \((0,1,0)^T\) 还是 \((0,-1,0)^T\)？【勘误重点】¶

算：令 pitch=roll=0、yaw=90°，\(C_b^n=R_z(-90^\circ)\)。套用正文第 5 节公式（或直接写 \(R_z\) 被动块 \(\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}\) 取 \(\psi=-90^\circ\)）：

第一列 = \((0,1,0)^T\)。

跑：

Cbn = euler2cnb([0;0;pi/2]);
Cbn(:,1)          % ans = [0; 1; 0]  → 第一列确实是 (0,1,0)^T

euler2cnb([0;0;pi/2])        % → [0 -1 0; 1 0 0; 0 0 1]，第一列 [0;1;0]
euler2cnb([0;0;pi/2])'       % → C_n^b，第一列 [0;-1;0]  ← 豆包算的其实是这个

练习 3 — 主动矩阵 = 被动矩阵转置（2D 直验）¶

算：取 \(\theta=45^\circ\)。主动（向量转）\(R_{act}=\begin{bmatrix}c&-s\\s&c\end{bmatrix}\)，被动（坐标系转，本文约定）\(R_{pas}=\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}\)，显然 \(R_{pas}=R_{act}^T\)。——这正是第零节 0.4b 与第四节讲的那对「互为转置」。

跑（不依赖库，纯算术核对）：

th = 45*pi/180; c=cos(th); s=sin(th);
Ract = [c -s; s c];      % 主动（向量转）
Rpas = [c s; -s c];      % 被动（坐标系转，本文正文约定）
norm(Rpas - Ract')       % ≈ 0 → 互为转置

想要 3D 联动的「主动 vs 被动」可视化，打开 第四节交互演示，重点盯第一列（绿框）。

练习 4 — 4 坐标系链：i→b 要连乘几个矩阵、各段靠什么驱动¶

算：由 10.1 的表，从惯性系到机体需连乘三段：\(C_i^b = C_n^b\cdot C_e^n\cdot C_i^e\)。

• \(C_i^e\)：由地球自转角速度 \(\boldsymbol\omega_{ie}\) 决定（绕极轴匀速转）；
• \(C_e^n\)：由载具位置（纬度/经度）决定（把 ECEF 转到当地水平）；
• \(C_n^b\)：由姿态（俯仰/横滚/偏航）决定——本文主角。

跑（看本库如何把 i→e 的地球量暴露出来）：

glv = glvs;
glv.wie         % 地球自转角速度 (rad/s)，就是驱动 C_i^e 那段「i→e」的旋转率
                % 在导航系 n 里它表现为 wnie = [0; wie*cos(lat); -wie*sin(lat)]（北/东/天分量），由 earth.m 按纬度算出

实务里 \(C_i^e\)、\(C_e^n\) 由地球模型（earth.m）与位置算出；\(C_n^b\) 由姿态更新实时给出。三者拼起来才是完整的 i→b 姿态链。

练习 5 — 综合：用「三步法」手算第一列，再用 Mini-INS 复核¶

算：取 \(att=[\phi,\theta,\psi]=[5^\circ,-10^\circ,60^\circ]\)。回到第零节的核心句——「第 1 列 = 旧 X 轴单位向量 \([1,0,0]^T\) 喂进矩阵的结果」。所以 \(C_b^n\) 的第一列，就是旧体 X 轴在导航系下读到的方向余弦。

跑：

att = [5 -10 60]'*pi/180;
Cbn = euler2cnb(att);
col1 = Cbn(:,1)                 % 旧体 X 轴在导航系下的方向余弦（=「三步法」读到的第一列）
Cbn*[1;0;0] - col1              % ≈ 0 → 印证「第 1 列 = 旧 X 轴喂进矩阵的结果」

把 col1 与手算的 \(C_b^n\)（正文第 5 节展开式）第一列逐项比对，应完全一致——这就把「看列 = 基向量新地址」从 2D 三步法一路打通到了 3D 姿态阵。

关联与延伸¶

• 系列首页：惯性导航与惯导解算 · 自学科普系列
• 上一篇基础：01 坐标系与变换（坐标系概念、变换职责分离、R 的正交性）
• 下一篇：02 姿态的四种表示（欧拉角 / DCM / 四元数 / 旋转向量）
• 数学地基：矩阵、概率与协方差（旋转矩阵、四元数、协方差 \(P\)）
• 同源专题：00b 坐标变换与旋转矩阵 Wiki（PSINS 逐行拆解） —— 坐标系手性、主动/被动推导、投影的几何本质、PSINS 里 \(C_b^n\) 的代码对照。它的第 4 节「三步法：问旧 X 轴去哪了」与本文第零节是同一套思路，两页可互为注解
• 同项目落地：AHRS 板固件仿真与验证

外链 Wiki¶

• 旋转矩阵三步推导 · 交互演示（第零节配套）
• 主动 vs 被动旋转 · 交互演示（本文配套）
• P 矩阵：坐标轴改名字典 · 交互演示（第九节配套）
• 旋转矩阵 — 维基百科
• 相对转动（主动与被动变换） — 维基百科
• 叉积 — 维基百科
• 方向余弦矩阵 — 维基百科