04 IMU 误差模型：零偏 / 标度 / 交叉耦合 / g 灵敏度 / 温度漂移¶

系列定位：M1 基础 · 传感器模型。上一篇 03 传感器原理 讲了 IMU"测什么"（比力、角速度），还给了误差单位速查表。这一篇回答：误差从哪来、怎么建数学模型、怎么标定、怎么进 ESKF。下一篇 05 Allan 方差 教你怎么把这些参数"测出来"。

一、总览：IMU 误差的两种来源¶

所有误差分两大类，处理手段完全不同：

核心思想：能标定的就标定（确定性），标不掉的建模进滤波器（随机性）。ESKF 里的 bg/ba 状态就是"边飞边估零偏"——把标定没标干净的零偏当状态量实时估计。这就是为什么 15 态 ESKF 要留 6 个维度给零偏。

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二、常值零偏（Bias）¶

1. 物理机制¶

理想情况下，静止的陀螺应输出 0、加计应输出 1g。但实际上芯片存在固定的输出偏差：

• 陀螺零偏 eb：静止时陀螺输出的"假角速度"（单位 °/h）
• 加计零偏 db：静止时加计输出的"假比力"（单位 µg，1µg ≈ 9.8e-6 m/s²）

来源：MEMS 结构不对称（制造误差）、残余应力、电路失调电压。同一颗芯片在同一温度下，这个偏差基本是常数——所以叫"常值零偏"。

2. 数学模型¶

\(\tilde{\boldsymbol\omega} = \boldsymbol\omega + \boldsymbol b_g + \boldsymbol n_g,\qquad \tilde{\boldsymbol f} = \boldsymbol f + \boldsymbol b_a + \boldsymbol n_a\)

其中 \(\tilde{(\cdot)}\) 表示测量值，\(\boldsymbol b_g/\boldsymbol b_a\) 为常值零偏，\(\boldsymbol n_g/\boldsymbol n_a\) 为随机噪声（见第七节）。

3. 对导航的影响¶

零偏是最致命的误差：

• 陀螺零偏 \(b_g\) → 姿态误差 线性增长：\(\delta\theta(t) = b_g \cdot t\)
• 加计零偏 \(b_a\) → 速度误差线性增长、位置误差二次方增长：\(\delta p(t) = \tfrac12 b_a t^2\)

算笔账：一个 0.01 °/h 的陀螺（惯性级），10 分钟后姿态漂 \(0.0017°\)，1 小时后 \(0.01°\)——单看很小，但配上随机游走和积分误差，纯惯导 1 小时漂几度到几十度很正常。

4. 标定方法（确定性部分）¶

• 静止求平均：把 IMU 静止放置，输出求平均即得零偏（陀螺静止输出=零偏；加计静止输出=1g+零偏，减 1g 即得）。
• 六面法：加计零偏需要翻转（正放/反放 1g 反向）才能分离零偏与标度因数（见第五节）。

5. 怎么进 ESKF（本项目真实代码）¶

零偏不能只靠一次标定——温度、老化都会让它变。所以 ESKF 把零偏设为状态变量实时估计：

// ins_eskf_15d.c —— 误差状态 15 维: [dp dv dθ dba dbg]
// ① 量测前先把估计的零偏从原始测量里去掉：
for (i = 0; i < 3; i++) { ou[i] = gyro[i] - e->nom.bg[i]; au[i] = accel[i] - e->nom.ba[i]; }

// ② 误差传播：δθ̇ = −δbg（零偏直接"喂"进姿态误差）
/* F(θ,bg)@6:8,12:14 = -I   δθ̇=−δbg */

// ③ 更新后把误差叠加回名义状态：
e->nom.ba[i] += dx[9 + i];
e->nom.bg[i] += dx[12 + i];

这就是"误差状态卡尔曼"的精髓：不直接估计姿态/位置，而是估计"误差"，零偏误差 \(\delta b_g\) 被量测（加速度计/磁力计/GNSS）激励出来，再反馈修正 \(b_g\)。所以量测越丰富，零偏估计越准——这也是为什么纯陀螺积分会漂、而 ESKF 能收敛。

三、标度因数误差（Scale Factor）¶

1. 物理机制¶

芯片输出与真实物理量之间差一个比例系数。理想的换算系数在 datasheet 里有标称值（如 BMI088 陀螺 1000dps 档 0.000532632 rad/s/LSB），但实际芯片的增益与标称有偏差。

2. 数学模型¶

\(\tilde{\boldsymbol\omega} = (1 + s_g)\boldsymbol\omega,\qquad s_g \approx \frac{\Delta \text{增益}}{\text{标称增益}}\)

单位 ppm（百万分之一）：\(s_g = 1000\,\text{ppm}\) 表示满量程的 0.1% 偏差。

3. 影响与标定¶

• 影响：误差与输入量成正比——静止时没感觉（输入≈0），机动越猛错得越多。比如 1000°/s 量程、1000ppm 标度误差 → 满量程时角速度误差 1°/s。
• 标定：陀螺用速率转台（已知角速度，对比输出）；加计用六面法（已知 1g，正反两个方向读数差分离零偏与标度）：

\(\text{标度因数误差} = \frac{\text{正向读数} - \text{反向读数}}{2g} - 1\)

四、安装误差 / 交叉耦合（Misalignment / Cross-axis）¶

1. 物理机制¶

三轴加速度计/陀螺的敏感轴不可能完美正交：芯片贴装偏了、MEMS 结构本身三轴不正交。后果：一个轴的转动/加速度会"泄漏"到另一个轴。

2. 数学模型¶

测量值 = 真实值 × 耦合矩阵（对角为 1，非对角为小角度误差，单位 arcsec，1°=3600″）：

\(\tilde{\boldsymbol\omega} = \begin{pmatrix} 1 & m_{xy} & m_{xz} \\ m_{yx} & 1 & m_{yz} \\ m_{zx} & m_{zy} & 1 \end{pmatrix}\boldsymbol\omega\)

对应 PSINS 的 dKg/dKa 非对角项（dKGij，arcsec）。比如绕 x 轴转 100°/s，若 \(m_{yx}=100''\)，则 y 轴会"看到" \(100 \times \sin(100'') \approx 0.048°/s\) 的假信号。

3. 标定¶

同样用六面法/速率转台：让每个轴单独运动，观察其他轴的"串扰"，反解耦合矩阵。

4. 与 ESKF 的关系¶

安装误差是固定常数，标定后即可补偿，一般不进 ESKF 状态（否则状态维度爆炸）。但标定残差会变成等效零偏/噪声，被 bg/ba 吸收——所以 ESKF 的零偏估计也能"兜住"没标干净的安装误差。

五、g 灵敏度（g-sensitivity / VRE）¶

1. 物理机制¶

陀螺在受加速度（尤其是振动）时，输出会偏离真实角速度——这是 MEMS 陀螺最讨厌的误差之一。根源：

• 质量不平衡：驱动质量块与感测结构的质心不完全重合，加速度产生力矩串入感测轴。
• 振动整流（vibration rectification）：高频振动经非线性环节整流成直流误差——"越震越漂"。

单位：°/h/g（每 g 加速度产生多少角速度零偏）。

2. 数学模型（PSINS 的做法）¶

PSINS imuadderr 里 g 灵敏度直接建模为"陀螺零偏受加计测量调制"：

% PSINS: base/imu/imuadderr.m — Gongmin Yan, NWPU (psins260705)
if isfield(imuerr, 'gSens')
    drift(:,1:3) = drift(:,1:3) + imu(:,4:6)*imuerr.gSens';   % 陀螺误差 += 加速度 × gSens
end

即 \(\delta\boldsymbol\omega = \boldsymbol S_g\,\boldsymbol f\)，其中 \(\boldsymbol S_g\) 是 3×3 g 灵敏度矩阵（每一行：该陀螺轴受三个方向加速度的影响；对角为主灵敏度、非对角为交叉灵敏度）。上面简写成 \(\text{diag}(\boldsymbol f)\,\boldsymbol s_g\) 是为了直观展示"每轴受自己方向加速度调制"。

3. 影响与对策¶

• 影响：载体振动越大，陀螺零偏越不稳定——对无人机/车辆这类振动环境是实打实的威胁。ESKF 里它表现为"零偏被振动污染"，bg 估计会抖动。
• 对策：① 硬件减振（隔振安装）；② 标定测出 g 灵敏度并在补偿模型里去掉；③ 滤波（振动频段的信号被带宽限制滤掉）。

六、温度漂移（Temperature Drift）¶

1. 物理机制¶

MEMS 的机械结构、电路、材料特性都随温度变化：弹性模量变、应力变、基准电压漂。所以零偏、标度、g 灵敏度都是温度的函数——datasheet 里通常给"零偏温度系数"（如 ±0.5 °/h/°C）。

2. 两种对策（工程上必须选一种）¶

方案 A：恒温控制（本项目采用） —— 从源头把温度摁住，让传感器永远工作在同一个温度点，温度漂移自然消失。本项目用三路 NTC + Steinhart-Hart + PID 加热：

// ins_thermal.h —— 恒温子系统配置（真实代码）
// 三路 NTC 测温: NTC_IMU(中心, PID主反馈) / NTC_EDGE(边界) / NTC_BARO(气压计)
// 加热: PD14/TIM4_CH3 ~1kHz PWM → MOSFET 栅极;  PC1 加热供电使能
float target_c;   // 控温目标 (℃), 建议 40~50
float kp, ki, kd; // PID 增益

// ins_thermal.c —— Steinhart-Hart (B 参数简化式) 反算温度
float invT = 1.0f / 298.15f + (1.0f / c->beta[i]) * logf(r / c->r25[i]);

方案 B：温度标定（PSINS 的做法） —— 建温度-零偏曲线，运行时查表补偿。PSINS 有 imutclbt.m（温度标定）和 clbt*.m（六面法温度系列标定）。

3. 为什么本项目选恒温而不是查表¶

• 查表需要温箱逐点标定（设备贵、耗时长），且标定曲线会随老化失效；
• 恒温把"温度变量"直接消掉，一次设定终身受益，代价是功耗（加热功率）和启动时间（等升温）；
• 恒温 PID 的目标 40~50℃ 高于环境温度上限，保证任何工况都能稳定控温。

这也解释了为什么本板要花一路 TIM + ADC + 功率管在"加热"上——在 MEMS 精度预算里，温度漂移往往比标度误差更致命。

七、随机误差：白噪声 → 随机游走¶

1. 四种典型随机误差总览（先看全景）¶

随机误差五花八门，但大部分是同一套机制：某种"白噪声"经积分，按 \(\sqrt{t}\) 扩散。把这套机制套在不同物理量上，就长出不同的随机游走系数。四种典型误差并列如下：

三个一看就懂的点：

• ARW 和 VRW 是"双胞胎"：同一套"白噪声 → 积分一次 → ∝√t"，只是传感器不同（陀螺积分出角度、加计积分出速度）。各自的详细定义、噪声密度 vs 随机游走系数的单位换算（×60）已在 03 篇折叠 §2 讲过，这里不重复。
• RRW 和 BI 才是"进阶项"：RRW 是零偏本身在随机游走（长时主导，Allan 图上 +1/2 段）；BI 是零偏被 1/f 噪声钉住的不确定度下限（曲线最低平台）。它们决定的是"零偏会漂多少"，不是"每次读数噪多少"。
• 量纲不可比：ARW（°/√h）与 VRW（m/s/√h）单位不同，别拿数值直接比大小；要看它在各自导航误差里贡献多大，得结合场景折算。

2. 通用机制：白噪声 → 积分一次 → ∝√t¶

把读数里的白噪声 \(n\) 积分一次，误差就是"醉汉走路"——标准差按 \(\sqrt{t}\) 扩散：

\(\delta X(t) = \int_0^t n(\tau)\,d\tau \;\sim\; \mathcal{N}\!\left(0,\ \sigma^2 t\right), \qquad X=\theta\ \text{或}\ v\)

• 陀螺：\(n_g\) 是角速率噪声（单位 (°/s)/√Hz），积分出角度误差 \(\delta\theta\) → 这就是 ARW；
• 加计：\(n_a\) 是比力噪声（单位 m/s²/√Hz），积分出速度误差 \(\delta v\) → 这就是 VRW。

两者只是 \(X\) 不同，机制完全一样。所以一个 ARW 讲透了，VRW 不用再讲一遍——剩下的只是单位换算，交给 03 篇折叠。PSINS 里这两个噪声分别由 imuerr.web（°/√h）和 imuerr.wdb（µg/√Hz）给定，见本页「八、PSINS 演示」。

3. 速率随机游走（RRW）：零偏自己在随机游走¶

ARW/VRW 假设零偏是常数、只有读数白噪声。可实际上零偏不是定死的——它会随时间缓慢漂移。若这漂移本身像一个随机游走（即零偏的"变化率"是白噪声），就叫速率随机游走 RRW：

\(\dot b(t) = w(t),\qquad w \text{ 是白噪声}\quad\Rightarrow\quad b(t)\sim\mathcal{N}(b_0,\ \sigma_{RRW}^2\,t)\)

它和 ARW 的差别要抓准：

• ARW：读出来的角速率围绕真值抖（每次读数都带白噪声）——高频、短时主导；
• RRW：读数的平均值自己在慢慢飘（零偏在游走）——低频、长时主导。

RRW 的影响比 ARW 更"毒"：零偏本身已按 \(\sqrt{t}\) 游走，再积分一次到角度就按 \(t^{3/2}\) 累积（比 \(\sqrt{t}\) 快），所以长时静置是它接管。单位在陀螺是 °/h^{3/2}（= (deg/h)/√h，Allan 斜率 +1/2，与 05 篇 表格一致）；加计类比是 m/s³/√Hz。正因为太慢，要 4~8 小时静置数据才在 Allan 图上看得出（对应 05 篇"为什么测 BI 要那么久"）。

工程现实：消费级 MEMS 的零偏漂移更多是温度引起（确定性部分）+ 1/f 噪声（见 §4 BI），纯 RRW 白噪声驱动模型是理想化近似。滤波里一般用 §4 的一阶马尔可夫或 BI 的驱动噪声来兜零偏慢漂，而不是严格建一个 RRW。

4. 零偏稳定性（Bias Instability）与一阶马尔可夫¶

• 零偏稳定性（BI）：零偏不是完全恒定，而是在某均值附近慢变（温度残余、1/f 噪声）。Allan 方差曲线的"平台值"就是它，单位 °/h（或 µg）。
• 一阶马尔可夫：工程上常用"有记忆的慢变"来近似零偏漂移——PSINS 用 sqg/taug（标准差 + 相关时间）建模，imuadderr 里通过 markov1 生成：

% PSINS: base/imu/imuadderr.m —— 马尔可夫相关误差
mvg = markov1(imuerr.sqg.*sqrt(imuerr.taug/2), imuerr.taug, ts, m);
drift(:,1:3) = drift(:,1:3) + mvg*ts;

在"构造 F 阵"这一步，一阶马尔可夫长这样（状态方程 \(\dot\varepsilon=-\frac{1}{\tau}\varepsilon+w_\varepsilon\) 进 KF 的 F 阵 = 对角块 \(M_{\epsilon\epsilon}=M_{\nabla\nabla}=\mathrm{diag}(-1/\tau)\)）——你的 Mini-INS kffk.m（M4）正是这么填的：

% Mini-INS: core/kffk.m —— eb/db 一阶马尔可夫（τ = 1e4 s ≈ 2.78 h）
F(10:12,10:12) = diag([-1e-4, -1e-4, -1e-4]);   % eb 陀螺零偏
F(13:15,13:15) = diag([-1e-4, -1e-4, -1e-4]);   % db 加计零偏

\(-\frac{1}{\tau}\) 是"松弛项"：\(\tau\) 越大零偏越稳、该项越接近 0（\(\tau\to\infty\) 时退化为随机游走 \(\dot\varepsilon=0\)）。三种实现对照：PSINS 原版 kffk 的 15 态零偏块是 O（纯随机游走、漂移由 Q 驱动，见 linebyline 08）；本项目固件 ins_eskf_15d.c 同样是随机游走（F 内 \(\dot\delta b=0\)，Qd 注入 bg=1e-8、ba=1e-7 乘 dt）——三者短航时（\(\ll 2.78\,\text{h}\)）几乎无差别，马尔可夫的松弛项在长时间 / 重对准中略稳。

5. 误差怎么进 ESKF 的 Q 阵¶

把上面四种误差对号入座，看它们各进滤波器哪块：

ESKF 里对应的就是 Q 矩阵的 bg/ba 对角块。核心直觉：白噪声管"这一拍有多抖"，零偏驱动噪声管"零偏允许飘多快"——后者开太大，滤波器会把真运动也当零偏吃掉（估计被拖慢）；开太小，零偏跟不上真实漂移。

6. 零偏 vs 随机游走：谁主导？¶

短时间（< t₀）随机游走主导（√t 长得快），长时间（> t₀）零偏主导（线性无封顶）。t₀ 就是 Allan 方差曲线的最低点——见 05 Allan 方差。

八、PSINS 演示：imuadderr（完整误差施加）¶

把"误差模型"变成"能跑的数据"：PSINS 的 imuadderr 把 imuerrset 定义的误差施加到理想 IMU 数据上，生成带误差的仿真数据——这正是我们验证管线（verification/）生成"带病数据"的参考。

① PSINS 参考实现（MATLAB）

% PSINS: base/imu/imuadderr.m — Gongmin Yan, NWPU (psins260705)
% 完整误差施加模型: imu = K*imu + drift
% ① 零偏 + 随机游走（常值 + 白噪声）：
drift = [ ts*imuerr.eb(1) + sts*imuerr.web(1)*randn(m,1), ...   % sts = sqrt(ts)
          ts*imuerr.db(1) + sts*imuerr.wdb(1)*randn(m,1), ... ];
% ② 马尔可夫相关误差（有记忆的慢变）：
mvg = markov1(imuerr.sqg.*sqrt(imuerr.taug/2), imuerr.taug, ts, m);
% ③ 二次非线性 Ka2（加计）：
imu(:,4:6) = [ imu(:,4)+imuerr.Ka2(1)/ts*imu(:,4).^2, ... ];
% ④ g 灵敏度（陀螺零偏受加速度调制）：
drift(:,1:3) = drift(:,1:3) + imu(:,4:6)*imuerr.gSens';
% ⑤ 标度因数/安装误差（耦合矩阵）：
Kg = eye(3)+imuerr.dKg; Ka = eye(3)+imuerr.dKa;
imu(:,1:6) = [imu(:,1:3)*Kg', imu(:,4:6)*Ka'];

② 本项目 C 语言实现（ins_eskf_15d.c）

// 固件侧"误差模型"体现在两处：
// ① 去零偏（把估计的零偏从测量中减掉，等价于 imuadderr 的逆操作）：
ou[i] = gyro[i] - e->nom.bg[i];   au[i] = accel[i] - e->nom.ba[i];
// ② 量程→LSB 换算表（标度因数的"标称值"）：
[BMI088_GYRO_RANGE_1000DPS] = 0.000532632f,   // rad/s per LSB

③ 结论

PSINS 的 imuadderr 是"误差→数据"的正向通道，固件的 ESKF 是"数据→误差估计"的逆向通道：标定去掉确定性部分，滤波器吃掉剩余随机部分。imuerrset + imuadderr 组合可用于 verification/ 里生成"带已知误差的仿真数据"，反推滤波器能否正确估计出这些误差——这是 05 篇 Allan 之外的又一重验证手段。

九、常见坑清单¶

1. 只标零偏不标标度：静止标定只能分离零偏，标度误差要正反方向/转台才能标（见六面法折叠）。
2. 把零偏当随机噪声：零偏是确定性（线性漂移），随机游走是随机性（√t 漂移），处理方式完全不同——前者要标定/状态估计，后者只能进 Q 阵。
3. 忽略 g 灵敏度：振动环境下陀螺零偏"莫名其妙"变化，八成是 g 灵敏度在作怪，不是滤波器坏了。
4. 温度当不存在：MEMS 温漂可能比标度误差还大；要么恒温（本项目），要么建温度曲线，不能裸奔。
5. 标定曲线当永久有效：老化会改变零偏，所以 ESKF 里仍然留了 bg/ba 状态兜底——标定不是一劳永逸。
6. 量程与 LSB 混用：量程决定 LSB 大小（量化噪声下限），量程越大噪声越大，选量程要覆盖应用又不过分。

十、自测题¶

1. IMU 误差分哪两大类？各自的处理方式是什么？
2. 写出含零偏和噪声的陀螺/加计测量模型。
3. 六面法为什么需要正反两个方向？零偏和标度怎么从两个读数分离？
4. g 灵敏度的物理来源是什么？对振动环境有什么影响？
5. 本项目用什么方案对抗温度漂移？为什么不用查表方案？
6. 角随机游走（ARW）的误差随时间怎么扩散？和零偏有什么本质区别？
7. imuadderr 的 drift 里 ts*eb + sqrt(ts)*web*randn 分别代表什么？

关联与延伸¶

• 上一篇：03 传感器原理（比力 / 角速度 / 误差单位速查）
• 下一篇：05 Allan 方差 —— 5 种噪声指纹（QN·ARW·BI·RRW·RR）、读 log-log 曲线、从实测数据"测出"本节所有随机参数、定 ESKF 的 Q 阵
• 数学地基：矩阵、概率与协方差（随机过程、方差、协方差）
• 外链：维基 · 卡尔曼滤波 · 维基 · Allan 方差 · 维基 · 加速度计
• 项目落地：AHRS 板固件仿真与验证（ins_eskf_15d.c / ins_thermal.h 真实实现）
• 系列首页：惯性导航与惯导解算 · 自学科普系列