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13 松组合 vs 紧组合——GNSS 该怎么"接"进 INS 的滤波器

M3 组合导航篇第四篇。12 篇已经把"GNSS 位置/速度当量测"的 H 矩阵写完了——那其实就是松组合。本篇退一步问：GNSS 的信息到底有几种接法接到 INS 上？ 松（LC）/ 紧（TC）/ 超紧（UC）三档耦合深度怎么选？为什么"丢星"时紧组合更扛造？

参考体系：松组合锚定 牛小骥 I2NAV 讲义第 4 讲 · GNSS/INS 松组合算法设计（武汉大学，2021）的整体框架；紧组合锚定 PSINS 的 gnss/test/test_SINS_GPS_tightly_coupled.m + base/kf/kfhk.m + gnss/gps/rhoSatRec.m。代码对照：本项目固件 ins_eskf_15d.c（采用松组合——GNSS 位置/速度直接当量测）。

📚 牛小骥 I2NAV 讲义第 4 讲 PDF：4-GNSS、INS松组合算法设计.pdf

一、组合导航的"接线方式"有两种

组合导航无非是让 INS 和 GNSS 互相补漏：INS 短时准、长时漂；GNSS 长时准、短时/遮挡断。但"把 GNSS 的信息接到 INS 的滤波器上"有两条路线——差别在边界划在哪：

  • 松组合（LC, Loosely Coupled）：先让 GNSS 接收机自己独立解算出位置/速度（PVT），再把这个结果当成 INS 的一个"传感器读数"喂进去。边界划在 PVT。
  • 紧组合（TC, Tightly Coupled）：不碰 GNSS 的 PVT，把每颗卫星的原始伪距直接喂给 INS 的滤波器，由 INS 自己"反解"位置。边界划在 伪距。

💡 12 篇写的 H = 位置块单位阵（GNSS 位置/速度当量测），就是松组合的 H。本篇把"还有紧组合"补上，并讲清两者取舍。

二、松组合：GNSS 先独立解算，再和 INS 比

松组合 vs 紧组合 架构对比

数据流（见左半图）：

  1. IMU → INS 机械编排 + ESKF 预测，得到名义位置 \(\mathbf p_{ins}\)、速度 \(\mathbf v_{ins}\)。
  2. GNSS 接收机 内部跑一套独立的定位解算（自己的最小二乘或 KF），输出 PVT：\(\mathbf p_{gps}, \mathbf v_{gps}\)。
  3. 量测相减：\(\mathbf z = \mathbf p_{ins} - \mathbf p_{gps}\)，把差值送进 ESKF。
  4. 量测更新：\(\mathbf H =\) 位置块单位阵（12 篇的 GNSS 位置 H）；速度同理。

优点

  • 模块解耦：GNSS 是黑盒，换 Ublox/高通/其他厂商不影响 INS 代码。
  • 实现简单：只要会读 GNSS 的 NMEA/二进制位置，不用懂星历。
  • 计算量小：滤波器不碰卫星几何。

致命短板

  • 依赖 GNSS 输出有效 PVT。PVT 本身需要 ≥4 颗星 + 良好几何（GDOP）。一旦丢星、城市峡谷、隧道口，PVT 中断 → 量测瞬间消失 → INS 独自漂移（加计/磁强计只保姿态，位置/速度发散）。

⚠️ 这正是本项目固件选松组合时要补的"PVT 健康门限"——PVT 无效时不能拿它去更新。

三、紧组合：原始伪距直喂滤波器

数据流（见右半图）：

  1. IMU → INS 解算，得到名义位置 \(\mathbf p_{ins}\)。
  2. 读卫星星历 → 算出每颗可见星的卫星位置 \(\mathbf{sat}_k\)（发射时刻）。
  3. INS 用 \(\mathbf p_{ins}\) + 星历，预测每颗星"应该量到的伪距"： $\(\hat\rho_k = \|\mathbf{sat}_k - \mathbf p_{ins}\| \quad\text{（PSINS：}\texttt{rhoSatRec}\text{）}\)$
  4. 量测 = 原始伪距 − 预测伪距： $\(\mathbf z_k = \rho_k^{\text{raw}} - \hat\rho_k\)$
  5. 量测更新：\(\mathbf H\) 的第 \(k\) 行 = 第 \(k\) 颗星的视线单位矢量 \(\mathbf e_k\)（接收机→卫星），落在位置块。

H 的推导（核心）

记真位置 \(\mathbf p_{true}\)、位置误差 \(\delta\mathbf p = \mathbf p_{ins} - \mathbf p_{true}\)，\(\mathbf e_k = \dfrac{\mathbf{sat}_k - \mathbf p_{true}}{D_k}\) 为标称视线单位矢量（\(D_k\) 为标称距离）：

\[\hat\rho_k = \|\mathbf{sat}_k - (\mathbf p_{true}+\delta\mathbf p)\| = \|D_k\mathbf e_k - \delta\mathbf p\| \approx D_k - \mathbf e_k^\top\delta\mathbf p\]

真实伪距 \(\rho_k^{\text{raw}} = \|\mathbf{sat}_k - \mathbf p_{true}\| = D_k\)，于是

\[\mathbf z_k = \rho_k^{\text{raw}} - \hat\rho_k \approx \mathbf e_k^\top\delta\mathbf p \quad\Rightarrow\quad \boxed{\;\mathbf H_k(\text{位置块}) = +\mathbf e_k\;}\]

🔧 与 PSINS 一致：rhoSatRec 输出的 LOS 正是"接收机→卫星"单位矢量，kfhk(ins, LOS) 据此布 H。本文 gen_lc_tc.py 用有限差分校验：解析 H 与数值雅可比最大差 ≈ 2e-6（差分截断误差，非建模误差）。

直觉：伪距对接收机位置误差的偏导，就是"从你指向卫星的方向"。你往卫星方向挪一点，伪距就跟着变一点——这一行 H 就记下这个方向。

优点

  • 每颗星 = 1 个独立约束。只剩 1~3 颗星（城市峡谷、隧道口）时，LC 已无 PVT，TC 仍能用这几颗星做部分位置修正（约束落在这些 LOS 张成的子空间里）。

代价

  • 滤波器要懂 GNSS：解星历、算卫星位置、算 LOS、处理接收机钟差——复杂度高、与 GNSS 强耦合。

四、两种 H 的本质区别（呼应 12 篇）

松组合 LC 紧组合 TC
量测 \(\mathbf z\) \(\mathbf p_{ins} - \mathbf p_{gps}\)（位置差） \(\rho_k^{\text{raw}} - \hat\rho_k\)（伪距差）
\(\mathbf H\)（位置块） 单位阵 \(\mathbf I_3\) 逐行星堆叠的 LOS：\(\begin{bmatrix}\mathbf e_1^\top\\ \mathbf e_2^\top\\ \vdots\end{bmatrix}\)
\(\mathbf H\) 行数 固定 3（位置）/ 3（速度） = 可见星数 \(m\)（可 1、2、3…）
谁来解位置 GNSS 芯片（黑盒） INS 滤波器自己

两者等价吗？ 在 GNSS 几何良好、星数充足时，LC 的 PVT 本质就是这些伪距的最小二乘解——所以 LC ≈ "把解算外包给 GNSS 芯片的 TC"。区别在工程鲁棒性：边界划在 PVT 还是伪距，决定了星数不足时谁还能继续工作。

五、几何可观测性：少星时谁还活着

松组合 vs 紧组合 几何可观测性

  • 1 颗星 = 一个球面（1 维约束）；2 颗星 = 两球面交成圆（2 维）；3~4 颗星 = 收敛为点（含钟差通常需 4 星）。
  • TC 在 1~3 星阶段已能逐星累加约束；LC 必须等 GNSS 芯片吐出 PVT（≥4 星）才开工。

双轨验证实证（gen_lc_tc.py，注入 59.16 m 位置误差）：

场景 位置误差（更新前→后） 说明
仅 2 颗星 · TC 59.16 m → 11.79 m KF 修正量落在 2 条 LOS 张成的 2 维子空间；垂直方向协方差不降（仍 ~53 m）→ "2 星只可观 2 维"，与理论一致
仅 2 颗星 · LC 59.16 m → 59.16 m（无更新） 2 星无 PVT，量测直接消失，误差纹丝不动

关键教学点：TC 的"抗少星"不是魔法——它只是把"解算位置"和"更新滤波器"两件事的边界从 PVT 下移到了伪距，于是哪怕解不出完整 PVT，仍能拿零散伪距做部分修正。

六、超紧组合（UC / Deeply Coupled）一笔带过

TC 再上一层：把 INS 的动力学信息反过来喂进 GNSS 的跟踪环（载波/码环 DLL），帮弱信号下锁星；GNSS 环路的误差也回灌 INS。适合高动态/强遮挡（军用、无人机穿林）。本系列不展开。

七、怎么选（工程权衡）

维度 松组合 LC 紧组合 TC 超紧组合 UC
耦合深度 浅（PVT 边界） 中（伪距边界） 深（跟踪环互馈）
GNSS 黑盒 ✅ 是 ❌ 否（需星历） ❌ 否
少星鲁棒性 差（<4 星断） 好（1~3 星仍可部分修正） 最好
实现复杂度 低 高 很高
计算量 小 中（逐星算 LOS） 大
典型场景 车载/便携/消费级 城市峡谷/遮挡多 高动态/军用

本项目固件 = 松组合。理由：板级资源有限、GNSS 模块自带可靠 PVT、车载/便携场景丢星不频繁、实现简单可靠——用 12 篇的 GNSS 位置/速度 H 即可。代价是用 PVT 健康门限兜住"中断"风险。

八、PSINS 演示

松组合（demos/test_SINS_GPS_153.m）——LC 把 GNSS 位置当 PVT 量测：

% PSINS 松组合：GNSS 先解算 PVT，再与 INS 比
posGPS = trj.avp(k1,7:9)' + davp0(7:9).*randn(3,1);   % GNSS PVT（带噪）
kf = kfupdate(kf, ins.pos-posGPS, 'M');               % H = 位置块单位阵（kfhk 153 case）

紧组合（gnss/test/test_SINS_GPS_tightly_coupled.m）——同一框架换一套"接线"：

% PSINS 紧组合：原始伪距直喂 KF（同一 demo 把 if 0 改 if 1 即切换）
[satPos, clkCorr] = satPosBatch(tp-CA/ggps.c, ephi);  % 星历 → 卫星位置
[rho, LOS, AzEl]  = rhoSatRec(satPos, posxyz, CA);     % 预测伪距 + 视线矢量
delta_rho = CA + clkCorr(:,1)*ggps.c - rho;            % z = 原始伪距 − 预测伪距
kf.Hk = kfhk(ins, LOS);                                % H 每行 = 一颗星的 LOS
kf = kfupdate(kf, delta_rho);                          % 量测更新

📌 同一个 test_SINS_GPS_tightly_coupled.m 里 if 0 走 LC、if 1 走 TC——松/紧只是"量测和 H 怎么组织"的区别，底层 ESKF 框架完全共用。这正是本篇想讲透的。

💡 坐标系铁律：PSINS 用 ENU（x东/y北/z天），本项目用 NED（x北/y东/z地）。LOS 矢量本身是纯几何量（与坐标系无关），但算卫星位置、做 ECEF↔本地系转换时必须按各自约定——凡涉及轴向/符号的面板都要先声明坐标系。

九、常见坑

  1. 把 LC 当"万能"：以为有 GNSS 就稳，忽略 PVT 中断风险（丢星/遮挡）→ 位置突然漂。必须加 PVT 有效性/健康门限，无效时停更。
  2. TC 忽略接收机钟差：每颗星伪距都含同一个钟差项 \(c\cdot\Delta t\)。H 必须给每行加一个"钟差列"（或先用单点定位解钟差再差分）。漏了钟差 → 位置估计系统性偏。
  3. LOS 矢量方向搞反：H 行 = \(+\mathbf e\)（接收机→卫星）还是 \(-\mathbf e\)，取决于残差定义 \(\mathbf z=\rho_{raw}-\hat\rho\) 还是反过来。本文用 \(\mathbf z=\rho_{raw}-\hat\rho\) 得 \(+\mathbf e\)；PSINS rhoSatRec 的 LOS 也是"接收机→卫星"，与本文一致（已用有限差分确认）。
  4. 星历时间不同步：卫星位置要算在信号发射时刻（用传播延迟 \(\rho/c\) 修正），用接收时刻星历会偏。
  5. 地球自转修正（Sagnac）：全球/高动态下要修正 rhoSatRec 里的 wtau = wie*rho0/c 旋转项。忽略会引入米级误差。
  6. 几何劣化（GDOP 爆炸）：星都挤在天顶一小块 → LOS 近乎平行 → 水平/垂直精度崩。要监控 GDOP，恶劣时降权或切回 LC。
  7. 坐标系混乱：ENU/NED、ECEF 互转错 → LOS 全错。铁律重申。
  8. 把 LC 量测当 TC：LC 量的是"位置差"（H 是 3×15 单位阵块），TC 量的是"伪距差"（H 是 \(m×3\) LOS 堆叠）。维度不同，混用会维度对不上、更新方向错。

十、自测题

  1. LC 与 TC 最大的工程区别在哪？为什么"丢星"场景下 TC 比 LC 更稳？
  2. 写出 TC 伪距量测的残差 \(\mathbf z\) 与 \(\mathbf H\)（位置块）。若残差定义为 \(\mathbf z=\hat\rho-\rho_{raw}\)，H 的符号会变吗？
  3. 为什么 TC "每颗星一个独立约束"？用 LOS 矢量说明 1 / 2 / 3 颗星分别能把位置约束到什么程度。
  4. 接收机钟差在 TC 里怎么处理？若完全忽略，位置估计会出现什么现象？
  5. 有人说"LC 就是 TC 把解算外包给 GNSS 芯片"，这话对吗？在什么条件下成立、什么条件下不成立？
  6. 本项目固件是 LC 还是 TC？为什么这么选？对应 12 篇的哪个 H？
  7. 双轨验证里，仅 2 颗星时 TC 把 59.16 m 误差压到 11.79 m，但垂直方向协方差没降——解释为什么。
📐 参考答案
  1. 边界划在哪：LC 边界在 PVT（要 GNSS 先解出位置），TC 边界在 伪距（滤波器自己解）。丢星时 GNSS 芯片吐不出 PVT → LC 量测消失、INS 独自漂；TC 仍能用残留的 1~3 颗星原始伪距做部分修正，不会全断。
  2. \(\mathbf z_k=\rho_k^{raw}-\hat\rho_k\approx\mathbf e_k^\top\delta\mathbf p\)，\(\mathbf H_k(\text{位置块})=+\mathbf e_k\)（接收机→第 \(k\) 颗星单位矢量）。若改成 \(\mathbf z=\hat\rho-\rho_{raw}\)，则 \(\mathbf z\approx-\mathbf e_k^\top\delta\mathbf p\) → \(\mathbf H_k=-\mathbf e_k\)，整行反号。两种约定都合法，但必须和残差定义、KF 的 \(\mathbf r=\mathbf z-\mathbf H\hat{\mathbf x}\) 一致（本文统一用 \(\mathbf z=\rho_{raw}-\hat\rho\)）。
  3. 每颗星给出一个伪距观测量，其雅可比就是该星 LOS \(\mathbf e_k\)，所以"一颗星 = 一个独立约束方向"。1 星 → 位置落在以卫星为心的球面（1 维）；2 星 → 两球面交成圆（2 维，本验证 H2 秩=2）；3~4 星 → 交线收敛为点（3D 定位，含钟差通常需 4 星）。
  4. 钟差 \(c\Delta t\) 出现在每颗星伪距里（同号同量）。处理：① 在 TC 状态里加一个钟差状态，H 每行补一列 \(+1\)（或 \(+c\) 视单位）；② 先用单点定位（最小二乘）解出钟差再对伪距差分。忽略钟差 → 所有星伪距都带同一个偏置 → 位置估计被系统性拉偏（尤其沿几何中心方向）。
  5. 部分对：GNSS 几何良好、星数充足（≥4）时，LC 的 PVT 本质就是这些伪距的最小二乘解，所以 LC ≈ "外包解算的 TC"，两者位置修正等价。但星数不足时不成立：LC 解不出 PVT（直接断），TC 仍能逐星累加部分约束——这时"外包"的边界反而成了 LC 的命门。
  6. 本项目固件 = 松组合（LC）。理由：板级资源有限、GNSS 模块自带可靠 PVT、车载/便携丢星不频繁、实现简单可靠。对应 12 篇的 GNSS 位置 H（位置块单位阵）与 GNSS 速度 H（速度块单位阵）。代价是用 PVT 健康门限兜住中断风险。
  7. 2 颗星只提供 2 个独立约束方向（H2 秩=2），KF 只能修正位置在"这 2 条 LOS 张成的 2 维子空间"内的分量；垂直于该子空间的方向没有被任何伪距观测到 → 那个方向的误差和协方差原样保留（验证里垂直分量协方差仍 ~53 m）。这正是"部分可观"——TC 抗少星靠的是"能修多少修多少"，不是"星不够也能全定位"。

十一、可复现：跑通本篇验证脚本

本篇所有数值结论（H=+LOS、2 星部分修正）都来自 assets/gen_lc_tc.py，纯 numpy、零外部依赖。验证类文章的底气不在于"作者说对"，而在于你能亲手复现——所以这一段请你照着跑一遍。

🧪 运行方式

只需有 Python 3 + numpy。在仓库任意位置执行下面任一种：

# 方式一：直接用你自己的 python（已装 numpy）
python docs/惯性导航/assets/gen_lc_tc.py

# 方式二：没装 numpy 时先装再跑
pip install numpy
python docs/惯性导航/assets/gen_lc_tc.py

脚本会打印三段结果，正好对应正文两个核心论断：

  1. TC 伪距 H = +LOS（解析 vs 有限差分） max|H_analytic - H_fd| ≈ 2e-6 —— 这个极小差值来自差分法的截断误差，证明解析式 H = +LOS 正确（不是建模误差）。
  2. LC 对照：直接打印 H = I₃（位置块单位阵），与 12 观测模型 的 GNSS 位置 H 完全一致。
  3. 仅 2 颗卫星：
  4. 更新前位置误差 |delta_p| = 59.16 m
  5. TC 卡尔曼修正后 |delta_p - dx| = 11.79 m
  6. 更新后协方差 sqrt(diag(P2)) 中，垂直于 2 条 LOS 的分量仍 ~53 m（不降）
  7. H2 秩 = 2 —— 2 星只可观 2 维位置子空间，垂直方向仍漂

跑出来的数字和上面对不上？先 git diff docs/惯性导航/assets/gen_lc_tc.py 确认脚本没被改过，再查 numpy 版本（python -c "import numpy; print(numpy.__version__)"）。

参考体系

  • **牛小骥 I2NAV 组合导航讲义（武汉大学，2021）**第 4 讲 · GNSS/INS 松组合算法设计：PDF——松组合整体框架（本篇 LC 锚点）
  • PSINS：
  • 松组合 demos/test_SINS_GPS_153.m（kfupdate(kf, ins.pos-posGPS, 'M')，H=位置块单位阵）
  • 紧组合 gnss/test/test_SINS_GPS_tightly_coupled.m（if 0 LC / if 1 TC 同框架切换）
  • base/kf/kfhk.m（按星历 LOS 布 H）、gnss/gps/rhoSatRec.m（预测伪距 + 视线矢量 LOS，含 Sagnac 修正）
  • 本项目：ins_eskf_15d.c 的 eskf15_update_gnss_pos/vel——松组合实现（GNSS 位置/速度直接当量测，H=单位阵挑位置/速度块）；误差态序 \([\mathbf p(0{:}2),\mathbf v(3{:}5),\boldsymbol\phi(6{:}8),\mathbf b_a(9{:}11),\mathbf b_g(12{:}14)]\)
  • 本篇验证：assets/gen_lc_tc.py——TC 伪距 H=+LOS（解析 vs 有限差分，最大差 ≈2e-6）+ 仅 2 星 TC 部分修正实证（59.16 m→11.79 m）
  • 上一篇：12 观测模型——本篇 LC 的 H（GNSS 位置/速度单位阵）在 12 篇落地
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