14 一致性检验：NEES / NIS（χ²）——量测更新"合理不合理"的闸门¶

M3 组合导航篇第五篇。13 篇把"GNSS 怎么接进 INS"讲完了，但有一个问题被跳过了：卡尔曼滤波器告诉你"误差只有 1 m"，你信吗？ 本篇讲怎么给滤波器做"体检"——两个检验量 NEES / NIS，以及它们背后的 χ² 分布。这是"量测更新到底合不合理"的闸门，也是调 Q/R、做异常检测（15 篇 FDI）的基础。

参考体系：NIS/NEES 的标准出处是 Bar-Shalom《Estimation with Applications to Tracking and Navigation》；PSINS 的 base/kf/kfupdate.m 输出新息 kf.rk 与新息协方差 kf.Py0（=S，正是 NIS 的原料，但 PSINS 不封装一致性检验——留给你自己算，这本身就是教学点）；代码对照：本项目固件 ins_eskf_15d.c 的 decoupled gating（加速度计幅值门限 gf=0.3 / 磁强计常开）和 matlab_sim/ 的 SIL 验证流程（有真值 → NEES 可算）。

一、滤波器也会"说谎"：为什么要体检¶

卡尔曼滤波器每一步输出两样东西：

• 估计值 \(\hat{\mathbf x}_k\)：我认为状态是多少；
• 协方差 \(\mathbf P_k\)：我认为自己的误差有多大（"我有 95% 把握误差在 ±2σ 内"）。

新手只盯着估计值，老手更盯着 \(\mathbf P\)——因为增益 \(\mathbf K\)、门限、后续一切决策都建立在 \(\mathbf P\) 之上。可问题是：\(\mathbf P\) 是滤波器自己声称的，它可能完全离谱：

• 过自信（overconfident）：\(\mathbf P\) 比真实误差小得多 → 滤波器把不可靠的估计当宝贝，后续量测的修正被过度信任 → 被带偏还"坚信不疑"；
• 过保守（underconfident）：\(\mathbf P\) 比真实误差大得多 → 滤波器不敢用新量测 → 收敛极慢，GNSS 修正形同虚设。

一致性（consistency） = 声称的不确定性 \(\mathbf P\) 与真实误差统计相符。体检（一致性检验）就是回答一个问题："你认为的误差"和"实际犯的错"对得上吗？

💡 一致性 ≠ 精度。精度是"误差有多小"，一致性是"误差的说法有多可信"。一个误差 1 m、但声称 100 m 的滤波器"一致但没用"；误差 1 m 声称 0.1 m 的滤波器"精度高但危险"（后面所有判断都建立在错的自信上）。

二、两个检验量：NEES 与 NIS¶

一致性没法直接测（真实误差分布不知道），但可以抽样检验：拿"误差的归一化平方"做统计量。有两条路线，差别只在有没有真值：

NEES（Normalized Estimation Error Squared，估计误差归一化平方）

需要真值 \(\mathbf x^{\text{true}}\) → 只有仿真、SIL（软件在环）、半实物标定里能用。自由度 = 状态维数 \(n_x\)（本项目 ESKF 是 15 维误差态，但做 NEES 通常只看关心的子块）。

NIS（Normalized Innovation Squared，新息归一化平方）

需要量测和它自己的预测——全是滤波器内部量，在线就能算，不需要真值 → 实机只能用 NIS。自由度 = 量测维数 \(m\)（GNSS 位置=3、气压高度=1）。\(\mathbf r_k\) 和 \(\mathbf S_k\) 就是 12/13 篇里的新息与新息协方差——PSINS kfupdate.m 里分别是 kf.rk 和 kf.Py0。

为什么这两个量服从 χ²？ 直觉：若 \(\mathbf P\) 真是 \(\delta\mathbf x\) 的协方差（且高斯），那么"\(\delta\mathbf x\) 被 \(\mathbf P\) 归一化"后就是 \(m\) 个独立标准正态的平方和——正好是 χ² 的定义。

三、χ² 分布与门限怎么用¶

χ² 分布唯一地由自由度 \(d\) 决定，且均值 = 自由度：

所以一致性检验的核心判据出奇简单：长时间平均的 NEES/NIS ≈ 自由度。显著大于 → 过自信（声称的 \(\mathbf P\) 或 \(\mathbf R\) 太小）；显著小于 → 过保守（声称的太大）。

三种用法，从粗到细：

① 均值检验（最常用）：收集 \(N\) 个样本，算平均 \(\bar\varepsilon = \frac{1}{N}\sum\varepsilon_k\)，看是否接近 \(m\)。工程上常用"滑动窗口平均 NIS"，窗口长度 \(N\) 越大越灵敏（也越迟钝）。

② 单次门限（gating）：单步 \(\varepsilon_k\) 以概率 \(1-\alpha\) 落在 \([0,\ \chi^2(m,1-\alpha)]\) 内。超出门限 → 该量测可疑：拒绝、降权或报警。这就是"异常值剔除"和 15 篇 FDI 的数学基础。

③ 批检验（严格版）：\(N\) 个独立样本的和 \(\sum_{k=1}^{N}\varepsilon_k \sim \chi^2(N\cdot m)\)。95% 一致性区间：

落在区间外 → 以 95% 置信度判定滤波器不一致。常用门限速查：

⚠️ 门限查表最容易犯的错：自由度 = 量测向量维数 m（不是状态维数 n_x、更不是 15）。baro 是 m=1，GNSS 位置是 m=3。

四、三种典型失配的"指纹"（诊断表）¶

一致性检验不只是"过/不过"的闸门——偏离的方向和形态就是病因的指纹：

💡 先分清"滤波器的错"还是"量测的错"：NIS 是"量测 vs 滤波器预测"的差。GNSS 多径时 NIS 飙升，错在量测（该 gating/降权）；模型漏项时 NIS 持续偏高，错在滤波器（该修模型）。区分手段：看 NIS 是"偶发尖峰"还是"持续偏移"——这正是 15 篇 FDI 的主题。

五、和 ESKF 的关系：固件的 gating 就是单次 NIS 门限的工程化¶

一致性检验在本项目里不是纸上谈兵——固件 ins_eskf_15d.c 的量测更新里就有它的影子：

// eskf15_update_accel（示意）：加速度计幅值门限 —— "量测可疑就跳过"
if (fabsf(norm_a - G) > gf) {   // gf = 0.3：|‖a‖ − g| > 0.3 g 就跳过量测
    return;                     // banked turn 大过载时 accel 模型失效 → 不用它污染姿态
}

这里用的是幅度近似而非严格 NIS：当 \(|\,\|\mathbf a\| - g\,| > 0.3g\) 时，加速度计量测与"近水平 1g"假设不符 → 该量测被拒之门外。严格的做法是算 \(m\) 维 NIS 并与 \(\chi^2(m, 1-\alpha)\) 比——固件用更便宜的启发式（幅值差）等价地实现了"量测模型失效就拒绝"。

📌 为什么 accel 用 gating、mag 常开：accel 的模型"比力 ≈ 重力反投影"只在近水平/低过载成立（大转弯 1.05–1.58g 时系统性错误），所以必须门限；mag 只依赖姿态不依赖载荷，模型恒成立 → 常开。判断要不要 gating，先问"这个量测的模型在什么工况下失效"——这就是一致性思想的工程化。

NEES 用在哪：真值只在仿真里存在 → NEES 是开发期验证工具。本项目 matlab_sim/ 的 SIL 流程正是如此：生成轨迹（真值）→ 跑滤波器 → 算 NEES 看"声称的 P 是否覆盖真实误差"。实机上没有真值，只能用 NIS 做在线健康监测（滑动窗口平均超限 → 报警/降权）。

六、双轨验证脚本：gen_chi2¶

assets/gen_chi2.py（Python）与 assets/gen_chi2.m（MATLAB）做三个演示，对应本节三个核心论断：

1. χ² 性质：从标准正态平方和采样 20 万次，样本均值 ≈ m、95% 分位 ≈ 理论值（3.84 / 5.99 / 7.82）→ 证明"若 P 正确则 NEES/NIS ~ χ²"不是空话；
2. NIS 均值 = 闸门：m=2 位置量测，真实新息协方差 Σ=41·I₂，三种声称值——一致（S=41I）：E[NIS]=2.00≈m ✓；过自信（S=8I）：10.25≫2 ✗；过保守（S=200I）：0.41≪2 ✗。解析期望 \(\mathbb E[\mathbf r^{\top}\mathbf S^{-1}\mathbf r]=\operatorname{tr}(\mathbf S^{-1}\mathbf\Sigma)\) 与蒙特卡洛完全吻合；
3. NEES 批检验：N=50 时刻、d=2，ΣNEES~χ²(100)，95% 区间 [74.2, 129.6]——一致滤波器 E[Σ]=100 落在区间内 ✓，过自信（声称 P=P_true/4）E[Σ]=400 远超上界 ✗。

七、常见坑¶

1. 拿单次 NIS 下结论：单样本 \(\varepsilon_k\) 波动极大（χ² 方差 = 2m），一次超门限≠滤波器坏。必须时间平均 / 滑动窗口 / 批检验。
2. 忘了样本相关：相邻两步的新息不独立（尤其量测频率高时）→ 有效样本数远小于 N → 平均 NIS 波动比理论大。严格批检验要按有效样本数算，或对 NIS 序列做稀疏采样。
3. 把 NEES 用在实机：没真值就永远算不了 NEES。实机只有 NIS。仿真里两个都算，以 NEES 为准（它直接量估计误差）。
4. NIS 高就怪滤波器：先分"量测的错"（偶发尖峰 → gating/降权）还是"滤波器的错"（持续偏移 → 修模型/调 R/Q）。见 15 篇。
5. 把"调 NIS 到 1"当目标：过拟合噪声参数可以让统计量"好看"，但牺牲真实精度（把 R 写大 → NIS 变小 → 滤波器变迟钝）。一致性 ≠ 精度，先保证模型对，再谈参数。
6. α 选错：α=0.05 意味着"正常量测也有 5% 概率被判可疑"——高量测率下天天误报；α 太小（0.001）则漏警。门限要与误报成本匹配。
7. 查表用错自由度：m 是量测维数（baro=1、GNSS=3），不是状态维数。用 15 去查 m=1 的门限，等于把门限放大了几十倍，检验形同虚设。
8. 忽略不可观方向：ESKF 里某些方向（如只有位置量测时的速度/零偏）P 保持很大——这是"诚实"，NEES 不会惩罚它。别把"不可观方向的 NEES 不大"误判成"滤波器没问题"。

八、自测题¶

1. NEES 和 NIS 分别需要什么信息？实机只能用哪个？为什么？
2. 为什么 \(\delta\mathbf x^{\top}\mathbf P^{-1}\delta\mathbf x \sim \chi^2(n_x)\)？写出"白化"三步。
3. 一致滤波器的 NIS 均值应该 ≈ m。若实际均值 = 10·m，说明什么？应该先查 R 还是先查 Q？为什么？
4. R 被低估（写太小）时，NIS 偏高还是偏低？用 \(\mathbf S = \mathbf H\mathbf P\mathbf H^{\top}+\mathbf R\) 解释。
5. 固件 accel 的 gf=0.3 门限和严格 NIS 门限是什么关系？为什么 mag 不需要门限？
6. 批检验里 \(\sum_{k=1}^{N}\varepsilon_k \sim \chi^2(Nm)\)——为什么自由度乘了 N？（提示：独立 χ² 的和）
7. GNSS 在城市峡谷里 NIS 偶发尖峰，但均值正常。这是"滤波器错"还是"量测错"？该调参数还是加 gating？

九、可复现：跑通本篇验证脚本¶

本篇数值结论（χ² 性质、NIS 均值闸门、NEES 批检验）来自 assets/gen_chi2.py（Python）与 assets/gen_chi2.m（MATLAB）双轨脚本。注意：本脚本含蒙特卡洛采样，两轨 PRNG 不同（MATLAB rng(42) ≠ numpy default_rng(42)），解析列逐数字一致，MC 统计量在小数末位允许 ±0.02 差异（N=20 万样本下收敛）。

python docs/惯性导航/assets/gen_chi2.py
# 没装 numpy 先：pip install numpy

cd docs/惯性导航/assets
gen_chi2

参考体系

• Bar-Shalom, Li, Kirubarajan《Estimation with Applications to Tracking and Navigation》（Wiley, 2001）——NIS/NEES 一致性检验的标准出处（第 5 章滤波性能评估）
• **牛小骥 I2NAV 组合导航讲义（武汉大学，2021）**第 4 讲：PDF——量测方程与 KF 更新框架（一致性检验即在此框架上做统计）
• PSINS：base/kf/kfupdate.m——输出新息 kf.rk 与新息协方差 kf.Py0（=S，NIS 原料；PSINS 不封装检验，rk'*inv(Py0)*rk 即 NIS）
• 本项目：ins_eskf_15d.c 的 eskf15_update_accel（gf=0.3 幅值门限 = 单次 NIS 门限的工程近似）、eskf15_update_mag（常开）；matlab_sim/ SIL 流程（有真值 → NEES 评估收敛）
• 本篇验证：assets/gen_chi2.py（Python）与 assets/gen_chi2.m（MATLAB）双轨——χ² 性质 MC + NIS 均值三场景（解析 2.00/10.25/0.41）+ NEES 批检验（100 ∈ [74.2,129.6]）
• 上一篇：13 松组合 vs 紧组合——量测怎么进来；本篇讲进来的量测怎么"体检"
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