00a 惯导基础概念入门 Wiki (PSINS) — 新手扫盲篇¶

所属层级: L0基础 · 前置阅读（在 00_glvf.md 之前读） 前置依赖: 无（这是整个Wiki的起点） 学习目标: 读完你应能回答

1. 为什么"两个角增量相加 ≠ 一次合成的角增量"？圆锥误差从哪来？
2. 舒勒84分钟振荡到底是什么？为什么它决定了惯导的"基本精度极限"？
3. 陀螺的 ARW、零偏、标度因子、g 灵敏度区别是什么？哪个对位置影响最大？
4. 加计的 VRW、零偏、标度因子、g² 灵敏度区别是什么？为什么 1mg 零偏 = 1km/h 位置误差？
5. 单子样 vs 多子样怎么选？为什么飞控用单子样、导弹用多子样？多子样需要外推吗？

📚 衔接 wiki 数学主线：本文讲惯导"黑话"扫盲（圆锥/划桨/舒勒/IMU 指标），误差模型分类与 Allan 方差详见 IMU误差模型、Allan方差。

🧩 这个文件为什么存在¶

你在 00_glvf.md 里会看到一堆"黑话"：

• 第 42-46 行的 glv.cs（圆锥/划桨系数表）——什么是圆锥补偿？
• 第 47 行的 glv.ws（舒勒频率）——为什么是 84 分钟？
• 第 58-76 行的 glv.dph / glv.dpsh / glv.dphpsh / glv.ugpsHz / glv.ugpsh——这些全是 IMU 指标单位，但分不清谁是谁

这4个概念是惯导入门的最大拦路虎。这个文件就是把这些"黑话"一次性讲透，让你回头看 00_glvf.md 时不再一脸懵。

学完后，你会发现 02_cnscl.md（圆锥/划桨补偿实现）和 03_insupdate.md（SINS三连更新）的物理意义会一下子通透。

1. 🌀 圆锥运动与圆锥补偿¶

1.1 物理直觉：为什么"两个旋转相加 ≠ 合成旋转"¶

日常比喻：你手里握一根筷子，让筷子的尖端画一个圆（但筷子本身不绕自己的轴转）。这就是圆锥运动——物体的指向在画圆锥面，但物体本身没有"自转"。

关键问题：陀螺测的是角速度 \(\boldsymbol{\omega}(t)\)。如果两个正交轴上有同频但相位差 90° 的角振动：

\(\omega_x(t) = \Omega \cos(\omega t), \quad \omega_y(t) = \Omega \sin(\omega t)\)

每个轴上 \(\int_0^T \omega \, dt\) 平均看起来都是零（余弦/正弦整周期积分为零）。但物体的实际指向在画圆锥面——第三个轴（z轴）会出现一个非零的平均旋转！

这就是圆锥误差的本质：旋转的不可交换性。

数学根源：两个旋转矩阵不交换 \(\mathbf{C}(\boldsymbol{\phi}_1) \cdot \mathbf{C}(\boldsymbol{\phi}_2) \neq \mathbf{C}(\boldsymbol{\phi}_2) \cdot \mathbf{C}(\boldsymbol{\phi}_1)\)

所以 \(\boldsymbol{\phi}_1 + \boldsymbol{\phi}_2 \neq \boldsymbol{\phi}_{\text{total}}\)。差的那一项，就是圆锥补偿要补的。

1.2 双子样补偿公式推导¶

假设一个圆锥周期内取 2 个子样 \(\mathbf{wm}_1, \mathbf{wm}_2\)（即 IMU 的两个角增量输出）：

• 未补偿：\(\Delta\boldsymbol{\phi}_{\text{naive}} = \mathbf{wm}_1 + \mathbf{wm}_2\) ← 这个会丢掉不可交换性误差
• 补偿后：

\(\boxed{\Delta\boldsymbol{\phi} = \mathbf{wm}_1 + \mathbf{wm}_2 + \frac{2}{3} \mathbf{wm}_1 \times \mathbf{wm}_2}\)

2/3 系数的来源：对纯正弦圆锥运动做最小二乘拟合，使得一个完整周期内的累积误差 = 0，刚好解出来 2/3。它不是任意选的，是数学最优。

N 子样一般公式（扩展到大机动场景）：

\(\Delta\boldsymbol{\phi} = \sum_{j=1}^{N} \mathbf{wm}_j + \sum_{j=1}^{N-1} c_{N,j} \cdot \mathbf{wm}_j \times \mathbf{wm}_{j+1}\)

其中 \(c_{N,j}\) 是 N 子样算法下第 j 个子样的权重，对应 PSINS 里的 glv.cs 表。

1.3 在 PSINS 里对应什么¶

glvf.m 第 89-94 行的 glv.cs 表：

调用流程（详见 02_cnscl.md）：cnscl.m 取出 cm = glv.cs(n-1, 1:n-1)' .* wm(1:n-1,:)，然后 dphim = sum(cm) × wm(n,:) 做叉乘，再加到主项 sum(wm) 上。

工程意义：

• 飞机/导弹高频角振动场景下，不做圆锥补偿 → 10 秒内姿态漂移 > 1°
• 做了双子样补偿 → 误差 < 10 arcsec（约 5e-5 rad）

1.4 一句话记忆¶

圆锥补偿 = 在双子样相加时，额外补一个 \(\frac{2}{3} \cdot \mathbf{wm}_1 \times \mathbf{wm}_2\)，抵消旋转的不可交换性。

1.5 子样策略：单子样 vs 多子样，到底怎么选？¶

这是新手最常问的问题："我看飞控/Pixhawk 里好像就是单子样？为什么 PSINS 默认双子样？"

什么是"子样"¶

子样（subsample） = 在一个姿态更新周期 \(T_s\) 内，IMU 采了几个点。

比如 IMU 输出频率 200Hz，姿态更新频率 100Hz → 每个更新周期内采了 2 个点 → 双子样。 如果 IMU 200Hz，姿态更新也 200Hz → 每个周期 1 个点 → 单子样。

IMU采样:   |wm1|wm2|wm1|wm2|wm1|wm2|     200Hz
姿态更新:  |   T1   |   T2   |   T3   |   100Hz (双子样)

IMU采样:   |wm|wm|wm|wm|wm|wm|wm|wm|    200Hz
姿态更新:  |T1|T2|T3|T4|T5|T6|T7|T8|    200Hz (单子样)

单子样 vs 多子样对比¶

为什么很多 MEMS 飞控用单子样？¶

你说得对——Pixhawk/PX4 等开源飞控确实多用单子样。原因：

1. MEMS 陀螺的圆锥误差本身就小：消费级 MEMS 陀螺 ARW \~0.1°/√h，零偏 1-10°/h，零偏本身比圆锥误差大几个数量级——圆锥补不补几乎看不出来
2. 飞控动态不高：多旋翼/固定翼的角速度一般 < 100°/s，角振动频率 < 10Hz，圆锥误差项 \(\mathbf{wm}_1 \times \mathbf{wm}_2\) 的量级 \~ \((0.5°)^2 \approx 0.25°^2 \approx 7.6 \times 10^{-5}\) rad² → 对姿态的影响 < 0.01°/s，飞控精度（1-5°）下完全可忽略
3. 算力限制：嵌入式 MCU（STM32 F4/H7）算力有限，单子样一个叉乘都省了
4. IMU 频率 = 更新频率：飞控的 IMU 输出 1-8kHz，但 EKF 更新也 100-400Hz，本来频率就够快，没必要多采再合并

什么时候必须用多子样？¶

"牺牲频率换精度"？¶

不完全对，更准确的说法是：固定 IMU 采样率，降低更新频率 → 用更多子样换更高补偿精度。

• IMU 固定 200Hz → 更新 200Hz（单子样） vs 更新 100Hz（双子样）
• 单子样的信息量更大（每 5ms 更新一次姿态），但没有补偿
• 双子样信息量小一些（每 10ms 更新一次），但有 2/3 补偿项
• 对于高精度系统，补偿的收益 >> 更新频率的损失

但如果 IMU 频率不变，更新频率也不能降（比如飞控需要 400Hz 姿态控制），那就只能单子样——飞控选单子样不是因为单子样更好，而是因为 IMU 频率和更新频率被绑死了。

PSINS 的特殊单子样模式¶

cnscl.m 第 33-34 行有个巧妙的 coneoptimal=2 模式：

if coneoptimal==2
    dphim = 1/12*cros(glv.wm_1,wm);  % 用上一个采样周期最后一个子样做补偿

这叫跨周期单子样补偿——虽然每个更新周期只有 1 个子样，但利用上一个周期的最后一个子样 \(\mathbf{wm}_{-1}\)，也能构造一个 \(\frac{1}{12}\mathbf{wm}_{-1} \times \mathbf{wm}\) 的补偿项（系数 1/12 而非 2/3，因为跨周期采样间隔不均匀）。

这就是"低动态 MEMS 系统也想做补偿"的折中方案——代价只是多存一个 \(\mathbf{wm}_{-1}\)（glv.wm_1），几乎零成本。

1.6 算法漂移表：为什么子样越多精度越高？¶

下面的表格来自秦永元老师的《惯性导航(第三版)》（表 9.4.1），直观展示了不同子样算法在纯圆锥运动下的漂移量级。

设圆锥运动参数：半锥角 \(a\)、角频率 \(\omega\)、姿态更新周期 \(h\)。\(\Delta\boldsymbol{\theta}_i\) 是第 \(i\) 个子样的角增量。

怎么读这张表？¶

关键看 \((\omega h)^n\) 的幂次——它决定了算法漂移随"圆锥频率 × 更新周期"的增长速度：

直觉：每增加一个子样，误差阶数提高 2 阶。当 \(\omega h\) 很小（高频采样）时，多子样的增益是指数级的——这也是为什么高精度惯导一定要多子样。

反过来：当 \(\omega h\) 很大（低频采样 + 高频圆锥运动），即使双子样也压不住——这就是为什么飞控单子样在高振动下精度骤降。

和 PSINS 的 glv.cs 对照¶

你提供的"优化双子样"公式里的 \(\frac{2}{3}\) 系数，正好就是 glvf.m 第 90 行 glv.cs(1,:) = [2,0,0,0,0]/3。三子样公式里的 \(\frac{9}{20}\) 和 \(\frac{27}{40}\) 对应 glv.cs(2,:) = [9,27,0,0,0]/20（注意 \(\frac{27}{40} = \frac{27}{20} \times \frac{1}{2}\)，PSINS 的实现形式略有展开差异但数学等价）。

1.7 多子样需要外推吗？¶

不需要。 多子样是"已经采到的数据做补偿"，不是"预测未来"。

数据流图（为什么多子样不需要外推）：

更新周期 T (100Hz, h=10ms)
|<-------- 已采到的数据 -------->|
wm1(0-5ms)  wm2(5-10ms)  →  cnscl算补偿  →  insupdate更新姿态
                                ↑
                        用的是已经采完的 wm1, wm2
                        不需要预测 wm3

唯一的"跨周期"情况是 coneoptimal=2 模式（单子样+前一样），它用的是上一个周期已采到的 \(\mathbf{wm}_{-1}\)（存在 glv.wm_1 里），也不是外推——是回顾（lookback）。

一句话总结：圆锥补偿用的全是"已采到的数据"，多子样 = 本周期的多个点，跨周期 = 上一个周期的最后一个点。没有预测，没有外推。

1.8 什么时候需要圆锥补偿？——一个判断标准¶

很多飞控有双子样甚至多子样数据，但不做那个 \(\frac{2}{3}\mathbf{wm}_1 \times \mathbf{wm}_2\) 叉乘项。到底什么时候需要做？

看一个量就够了：圆锥误差项 vs 陀螺零偏

一句话判断标准：圆锥误差项 \(\sim (\omega \cdot h)^2\)，如果它比陀螺零偏还小，就不用做；比零偏大，就必须做。频率越高（\(h\) 越小），圆锥误差越小 → 飞控高频天然不需要。但如果高振动场景，即使高频也要注意。

1.9 MEMS 检测不到地球自转，所以不需要扣 \(\omega_{ie}^n\)？¶

不完全对。要分两个场景看：

场景一：飞控（只做姿态，不做惯导位置解算）¶

地球自转 = 15°/h。MEMS 陀螺零偏 1-10°/h，ARW 0.1°/√h。地球自转和零偏同量级或更小，扣不扣对姿态影响在零偏误差的"噪声"里。而且飞控有加计做重力对准，姿态不会长时间发散。可以不扣 \(\omega_{ie}^n\)。

场景二：惯导（做位置解算）¶

即使 MEMS 陀螺精度差，如果你要算位置，\(\omega_{ie}^n\) 会通过科里奥利加速度耦合到速度上：

• 飞机速度 300 m/s 时：\(2\omega_{ie} \times v = 2 \times 7.29 \times 10^{-5} \times 300 \approx 0.044\) m/s²
• 不扣的话，10 分钟后速度误差 \(0.044 \times 600 = 26\) m/s，位置误差 \(\frac{1}{2} \times 0.044 \times 600^2 \approx 7920\) m

所以：地球自转 \(\omega_{ie}^n\) 不扣没关系的前提是"你不做位置解算"或"速度很低"。一旦做惯导位置解算，无论什么等级 IMU，都必须扣。

1.10 \(\omega_{en}^n\) vs \(\omega_{in}^n\) 区别 + 科里奥利加速度所有 IMU 都要扣吗？¶

\(\omega_{en}^n\) 和 \(\omega_{in}^n\) 的区别¶

• \(\omega_{ie}^n\)：地球在转（不管你动不动）
• \(\omega_{en}^n\)：你在动→n系跟着你的位置变方向
• \(\omega_{in}^n\)：两个加起来 = n系在惯性空间的总旋转

科里奥利加速度 \((2\omega_{ie}^n + \omega_{en}^n) \times \mathbf{v}^n\) 所有 IMU 都要扣吗？¶

只要做位置解算，就要扣，和 IMU 等级无关。 原因是科里奥利加速度是物理效应，不是 IMU 误差：

• 你站在地球（旋转系）上运动 → 必然受科里奥利力
• 这个力和你用什么等级的 IMU 没关系——地球在转，你在动，就有
• 300m/s 时科里奥利 = 0.044 m/s² ≈ 4.5mg → 不扣就是 4.5mg 的加计零偏等效

关键直觉：科里奥利加速度不是"IMU 误差"，是"物理效应"。你用再好的 IMU，地球还是照样转，你还是照样受科里奥利力。陀螺零偏可以靠标定/KF 估，但科里奥利必须从公式里扣。

2. 🚣 划桨运动与划桨补偿¶

2.1 物理直觉：划桨 = 圆锥的"加速度版"¶

比喻：船在波浪里同时做横摇（角振动）和上下颠簸（线振动）。加计感受到的比力里会有一个额外的虚假项——这就是划桨误差。

圆锥是纯角运动的耦合；划桨是角振动 + 线振动的耦合。两者数学形式几乎对称。

数学根源：当 \(\boldsymbol{\omega}(t)\) 和 \(\mathbf{f}(t)\) 同频但有相位差时，加计的积分 \(\int \mathbf{f} \, dt\) 里会出现一个非零项，和 \(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{f}\) 有关——本质还是不可交换性。

2.2 双子样划桨补偿公式¶

\(\boxed{\Delta\mathbf{v} = \mathbf{vm}_1 + \mathbf{vm}_2 + \frac{2}{3}\bigl(\mathbf{wm}_1 \times \mathbf{vm}_2 + \mathbf{wm}_2 \times \mathbf{vm}_1\bigr)}\)

和圆锥公式对比：

• 圆锥：1 个叉乘项 \(\frac{2}{3} \mathbf{wm}_1 \times \mathbf{wm}_2\)
• 划桨：2 个叉乘项的对称组合 \(\frac{2}{3}(\mathbf{wm}_1 \times \mathbf{vm}_2 + \mathbf{wm}_2 \times \mathbf{vm}_1)\)

工程意义：船舶/车载高振动场景下，不做划桨补偿 → 10 秒内速度误差 > 0.1 m/s。

2.3 一句话记忆¶

划桨补偿 = 圆锥补偿的加速度版，在双子样相加时补一个 \(\frac{2}{3} \cdot (\mathbf{wm} \times \mathbf{vm}\) 的对称组合\()\)。

3. 🌊 舒勒振荡与舒勒频率¶

3.1 物理直觉：地心倒立摆¶

把惯导想象成一个倒立摆：

• 摆锤是你（惯导载体）
• 支点是地心
• 摆长 = 地球半径 \(R_e \approx 6378\) km

这个倒立摆的自然周期：

\(T_s = 2\pi \sqrt{\frac{R_e}{g_0}} \approx 2\pi \sqrt{\frac{6.378 \times 10^6}{9.8}} \approx 5057 \text{ s} \approx 84.4 \text{ min}\)

这就是舒勒周期。所有"调谐到舒勒频率"的惯导回路，等价于让这个摆的周期 = 84.4 分钟。

调谐的好处：地面车辆任何加减速都不会让这个摆"晃起来"——位置误差不会因为机动而振荡发散。这就是舒勒调谐的工程价值。

3.2 数学推导¶

惯导水平位置误差方程（简化形式）：

\(\ddot{x} = -\frac{g_0}{R_e} x + \text{误差源}\)

这是一个标准的二阶振荡系统，对应 \(\omega^2 = g_0/R_e\)，所以：

\(\boxed{\omega_s = \sqrt{\frac{g_0}{R_e}} \approx 1.241 \times 10^{-3} \text{ rad/s}, \quad T_s = \frac{2\pi}{\omega_s} \approx 84.4 \text{ min}}\)

这就是 glvf.m 第 47 行 glv.ws = 1/sqrt(glv.Re/glv.g0) 的来源。

3.3 误差源驱动下的舒勒振荡¶

陀螺零偏 \(\boldsymbol{\varepsilon}_b\) 引起姿态误差 \(\boldsymbol{\phi}\)，\(\boldsymbol{\phi}\) 会让加计的比力投影错 → 等效一个 \(g \sin(\phi)\) 的虚假加速度 → 激发舒勒振荡：

\(\varepsilon_b = 1°/\text{h} \;\Rightarrow\; \phi_{\text{osc}} \approx 0.5° \;\Rightarrow\; \delta p_{\text{peak}} \approx 0.5 \text{ nmile/h}\)

这就是为什么"1°/h 的陀螺"对应"0.5 nmile/h 的导航精度"——业内经验值的来源！

3.4 三个时间常数记忆表¶

3.5 一句话记忆¶

舒勒周期 = 84 分钟 = 地心倒立摆的自然周期。调谐到它 = 机动不激发振荡。陀螺零偏是舒勒振荡的驱动源。

4. 🎯 陀螺指标全谱（带工程量级）¶

陀螺（角速度传感器）的核心指标，每个指标必须写明：名字 + 符号 + 单位 + 物理含义 + 对位置误差的传播。

g 灵敏度详解：陀螺为什么怕加速度？¶

物理直觉¶

陀螺本该只测角速度。但 MEMS 陀螺内部有振动质量——当载体有线加速度 \(a\) 时，振动质量受惯性力影响，输出会"串入"一个和 \(a\) 成正比的虚假角速度。这就是 g 灵敏度（g-sensitivity），也叫加速度灵敏度。

\(\omega_{\text{虚假}} = K_g \cdot a\)

其中 \(K_g\) 的单位是 (°/h)/g，含义是：每 1g 加速度，陀螺输出偏移多少 °/h。

数据手册典型值¶

为什么飞控/车载场景 g 灵敏度特别致命？¶

车辆在颠簸路面行驶时，垂直加速度可达 2-5g，发动机振动频率 50-200Hz。如果 \(K_g = 1\) (°/h)/g：

• 振动峰值 3g → 虚假角速度 3°/h
• 一个 10 秒的颠簸段 → 姿态漂移 3°/h × 10s / 3600 = 0.0083° ≈ 30 arcsec
• 如果振动持续 10 分钟 → 姿态漂移 0.5°

这就是为什么车载惯导在颠簸路面上精度骤降——不是陀螺零偏变了，而是 g 灵敏度被振动激发。

g 灵敏度在 PSINS 里对应什么¶

glvf.m 里有三个和 g 灵敏度相关的单位换算：

00_glvf.md 练习 1 里的 gyro_g_sens = 1 * glv.dph / glv.g0，就是 1 (°/h)/g 转成 SI 单位 = 4.957e-7 rad/(s²)。

怎么标定补偿？¶

g 灵敏度可以通过位置翻转标定来测：

1. 陀螺 x 轴朝上（感受 +1g）→ 记录零偏 \(\omega_{+1g}\)
2. 陀螺 x 轴朝下（感受 -1g）→ 记录零偏 \(\omega_{-1g}\)
3. \(K_{g,x} = (\omega_{+1g} - \omega_{-1g}) / 2\)

补偿时在 insupdate.m 的零偏项里加一个 \(\mathbf{K}_g \cdot \mathbf{f}^b\) 的修正：

\(\boldsymbol{\varepsilon}_{\text{总}} = \boldsymbol{\varepsilon}_b + \mathbf{K}_g \cdot \mathbf{f}^b\)

PSINS 的 imuerrset.m 里可以设置 g 灵敏度参数。

ARW vs 零偏：新手最容易混的一对¶

"零偏不稳定性" vs "零偏稳定性"：

• 零偏不稳定性 = Allan 曲线底凹点的值（含缓慢漂移成分），单位 °/h
• 零偏稳定性 = 恒温下 24h 测的极值，单位 °/h
• 两者差几倍，别在数据手册里混读！

5. 🎯 加计指标全谱（带工程量级）¶

加计（加速度计）核心指标表，同上格式。

g² 灵敏度详解：加计也有灵敏度！¶

加计本该只测加速度。但实际输出不是纯线性的 \(f_{out} = K \cdot f_{true}\)，而是：

\(f_{out} = K_1 \cdot f + K_2 \cdot f^2 + \cdots\)

那个 \(K_2 \cdot f^2\) 就是二阶非线性，也叫加计的 g² 灵敏度。含义是：加速度越大，加计输出偏离线性关系的程度越大。

• 1g 时：\(K_2 \cdot 1^2 = K_2\) → 加计零偏偏移 \(K_2\) μg
• 5g 时：\(K_2 \cdot 5^2 = 25 K_2\) → 偏移变成 25 倍！
• 振动峰值 10g 时：\(K_2 \cdot 100 = 100 K_2\) → 偏移变成 100 倍

为什么振动场景 g² 灵敏度特别致命：振动虽然是零均值的，但 \(f^2\) 永远是正的！所以振动会产生一个恒定的偏移 \(\overline{K_2 \cdot f^2} > 0\)，等效成一个加计零偏——这就是"振动整流误差"。

在 PSINS 里，imuerrset.m 第 102-105 行：

if exist('Ka2', 'var')
    imuerr.Ka2(1:3) = Ka2*glv.ugpg2;  % 单位 μg/g² → SI
end

对应 glvf.m 第 42 行 glv.ugpg2 = glv.ug/glv.g0^2。

陀螺 g 灵敏度 vs 加计 g² 灵敏度：对照表¶

关键区别：陀螺 g 灵敏度是一阶项（振动零均值时可部分抵消），加计 g² 灵敏度是二阶项（\(f^2\) 恒正，振动整流后产生恒定偏移）。这就是为什么"加计比陀螺更怕振动"。

⚠️ 关键直觉：加计零偏是 \(t^2\) 发散，比陀螺零偏还可怕！¶

1 mg 加计零偏 → 1 小时后位置误差：

\(\delta p = \frac{1}{2} \nabla_b \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot (10^{-3} \cdot 9.8) \cdot 3600^2 \approx 6.35 \times 10^4 \text{ m} = 63.5 \text{ km}\)

1mg 加计零偏 1 小时 = 63 公里！ 这就是为什么加计标定比陀螺还重要，也是为什么 INS/GPS 组合导航里 GNSS 位置观测对加计零偏的"修正效果"远好于对陀螺零偏。

6. 📐 从指标到位置误差：一个完整例题¶

给定一个战术级 IMU：

• 陀螺：零偏 0.01°/h，ARW = 0.1°/√h
• 加计：零偏 50μg，VRW = 50μg/√Hz

求 1 分钟、1 小时、10 小时后的位置误差（只考虑零偏和 ARW/VRW）。

解答¶

1. 陀螺零偏贡献：\(\delta p_{\text{gyro\_bias}}(t) = \varepsilon_b \cdot g \cdot t^2 / 2\)

• \(\varepsilon_b = 0.01°/\text{h} = 4.85 \times 10^{-8}\) rad/s
• 1 min: \(4.85e{-8} \cdot 9.8 \cdot 60^2 / 2 \approx 8.5 \times 10^{-4}\) m ≈ 1 mm
• 1 h: \(4.85e{-8} \cdot 9.8 \cdot 3600^2 / 2 \approx 3.1\) m
• 10 h: ≈ 310 m

2. 陀螺 ARW 贡献：\(\sigma_p \propto \text{ARW} \cdot g \cdot t^{3/2} / \sqrt{3}\)（简化估算）

• 1 h: 量级 \~ 1 m
• 10 h: 量级 \~ 30 m

3. 加计零偏贡献：\(\delta p_{\text{acc\_bias}}(t) = \nabla_b \cdot t^2 / 2\)

• \(\nabla_b = 50 \mu\text{g} = 4.9 \times 10^{-7}\) m/s²
• 1 min: \(4.9e{-7} \cdot 60^2 / 2 \approx 8.8 \times 10^{-4}\) m ≈ 1 mm
• 1 h: \(4.9e{-7} \cdot 3600^2 / 2 \approx 3.2\) m
• 10 h: ≈ 317 m

4. 加计 VRW 贡献：\(\sigma_v(t) = \text{VRW} \cdot \sqrt{t}\)，\(\sigma_p \approx \sigma_v \cdot t / 2\)

• 1 h: VRW=50μg/√Hz ≈ 0.49 mm/s/√s × 60 ≈ 3 cm/s 速度误差，位置 \~ 5 m
• 10 h: 位置 \~ 50 m

总和估算（1σ，各误差独立平方和开根）：

验证：跑 PSINS 的 test_SINS.m，把 imuerr = imuerrset(...) 里的参数按上面的量级设置，看跑出来的位置误差曲线和上表对得上。

7. 📊 Allan 方差：IMU 的"指纹识别"¶

7.1 为什么用 Allan 方差¶

一块静止的 IMU 数据里，ARW / RRW / 零偏不稳定性 / 量化噪声 全都叠加在一起。直接看时域波形分不出来。

Allan 方差把不同时间尺度的噪声分频段解开——一个数据序列能读出 5 类指标，这就是"指纹"的含义。

7.2 Allan 方差定义¶

\(\sigma_A^2(\tau) = \frac{1}{2(N-1)} \sum_{k=1}^{N-1} (\bar{x}_{k+1} - \bar{x}_k)^2\)

其中 \(\bar{x}_k\) 是 \(\tau\) 时长内的平均值，\(N\) 是总段数。

7.3 双对数曲线的 5 个斜率段¶

在 \(\log \sigma_A\) vs \(\log \tau\) 双对数图上：

7.4 工程做法¶

1. IMU 静止采集 24h 数据（至少 6h，越长越好）
2. 调用 avar.m 或 avar2.m 算 Allan 方差
3. 画双对数图
4. 从斜率 -1/2 段读 ARW，从底凹点读零偏不稳定性
5. 对照 imuerrset.m 的设置看是否一致

8. 🧭 角速度符号约定："相对于"和"投影到"¶

这是惯导符号体系最让新手困惑的一步，在 01_earth.md 里会频繁用到，必须先讲透。

8.1 "相对于" = 下标¶

\(\omega_{ie}\) 读作"e 系相对于 i 系的角速度"——意思是：站在 i 系看，e 系在以什么角速度转。

• i 系 = 惯性系（不转的"绝对静止"参考系，原点在地心，z 轴指地球自转轴方向）
• e 系 = 地球固连系（跟着地球一起转，原点也在地心，但坐标轴"钉在地球上"）
• n 系 = 导航系（当地水平，你站的地方"东-北-天"）

地球自转 → e 系相对于 i 系在转 → \(\omega_{ie}\) 就是地球自转角速度，大小 = 7.292e-5 rad/s。

记忆口诀：\(\omega_{AB}\) = B 系相对于 A 系 的角速度。下标从右往左读：右边的 B 是"被观察者"，左边的 A 是"观察者站的地方"。

8.2 "投影到" = 上标¶

\(\omega_{ie}^n\) 的上标 \(n\) 意思是：把这个角速度向量，投影（分解）到 n 系的三个轴上。

同一个角速度向量 \(\boldsymbol{\omega}_{ie}\)，在不同的坐标系里看起来不一样：

• 投影到 e 系：\(\boldsymbol{\omega}_{ie}^e = [0; 0; \omega_{ie}]\)（e 系 z 轴就是地球自转轴，所以只在 z 方向有分量）
• 投影到 n 系：\(\boldsymbol{\omega}_{ie}^n = [0; \omega_{ie}\cos L; \omega_{ie}\sin L]\)（n 系的"北"和"天"方向不再是自转轴方向，要分解）

图解：

        天(U) ↑
              |  ωie 方向 = 地球自转轴方向
              |  /
              | / ← 在北纬 L 处，自转轴同时朝"北"和"天"方向倾斜
              |/    
     北(N) ←---* (你站的位置, 纬度 L)
              \
               \ 东(E) →

• 在赤道 (L=0°)：自转轴完全在"北"方向 → \(\omega_{ie}^n = [0; \omega_{ie}; 0]\)
• 在北极 (L=90°)：自转轴完全在"天"方向 → \(\omega_{ie}^n = [0; 0; \omega_{ie}]\)
• 在 34°N（西工大）：自转轴同时朝北和朝天 → 北分量 = \(\omega_{ie}\cos 34°\)，天分量 = \(\omega_{ie}\sin 34°\)

8.3 合在一起理解¶

一句话记忆：\(\omega_{ie}^n\) = "e 系相对于 i 系的角速度"这个物理量，写成 n 系三个轴上的分量。 物理量不变，只是换了把尺子量——同一个地球自转，在赤道看全是"朝北"的，在北极看全是"朝天"的。

8.4 三个核心角速度速查表¶

8.5 为什么不是"i系→e系"？¶

有些人（包括我之前在 01_earth.md 里写得不严谨）会用"i系→e系"这种箭头写法。这是不规范的，容易让人误解成"从 i 系转到 e 系"。

\(\omega_{ie}\)的标准读法：e 系相对于 i 系的角速度——下标从右往左读，右边的 e 是"被观察者"，左边的 i 是"观察者站的地方"。箭头写法 \(\omega_{ie}\) 的下标顺序 \(ie\) 对应"e 相对于 i"，不能理解成"i 转到 e"。

⚠️ 初学者坑：如果你看到有人写"i系→e系角速度"，请自动脑内翻译成"e系相对于i系角速度"——物理含义完全一样，但"相对于"才是标准术语。

8.6 角速度 vs 坐标变换：什么时候用哪个说法？¶

这是两个完全不同的概念，但新手经常混在一起：

一句话记忆： - 说角速度时，用"e系相对于i系"——这是物理量的描述 - 说坐标变换时，才用"i系→e系"——这是矩阵/投影的描述

📌 典型场景：在 ./01_earth.md 里，eth.wnie 是角速度（用"相对于"读），ins.Cbn / ins.qnb 是姿态变换（用"b系→n系"读）。两者通过 \(\dot{C}_b^n = C_b^n [\boldsymbol{\omega}_{nb}^n]_\times\) 联系起来。

9. 🔗 这些概念在 glvf.m 里的什么位置？¶

读完本文件后，再去看 00_glvf.md 时，你能把以下符号和本文件的内容对上：

9. ❌ 初学者最容易踩的坑¶

1. 把 ARW 和零偏搞混：ARW 是随机噪声，每次开机都不一样，不能标定补偿；零偏是恒定的，开机后能通过零速更新（ZUPT）或 GNSS 组合的方式估计。两者完全不同性质。
2. 以为陀螺零偏只引起角度误差：实际上它通过 \(g \sin(\phi)\) 的等效加速度耦合到位置上，是位置误差的主要来源之一！陀螺零偏 → 姿态误差 → 加计投影错 → 位置 \(t^2\) 发散，不是单纯的角度误差。
3. 忘了加计零偏是 \(t^2\) 发散：很多人以为加计没陀螺重要，其实 1 mg 加计零偏 1 小时就发散 63 公里。加计零偏是长期导航的第一杀手。
4. 觉得圆锥补偿可有可无：在静态或低动态下确实差别不大，但只要载体有 > 1 Hz 的角振动（车载振动、飞机机动、弹载飞行），不做补偿姿态立刻漂移。所有 SINS 必须做圆锥补偿。
5. 把 Allan 方差底凹点误读成零偏稳定性：那是"零偏不稳定性"（含漂移成分），零偏稳定性要在恒温下 24h 测，两者差几倍。数据手册经常把两者故意混写，看的时候要注意区分。
6. 舒勒振荡是"有益的"还是"有害的"：舒勒调谐让机动不激发振荡（有益），但任何误差源（陀螺零偏、加计零偏）都会激发舒勒振荡 → 误差以 84 分钟周期振荡（有害）。调谐不能消灭误差源，只是隔离了机动激发。

10. 🎯 配套练习¶

练习 1：手算圆锥补偿¶

给定 \(\mathbf{wm}_1 = [0.01; 0; 0]\) rad，\(\mathbf{wm}_2 = [0; 0.01; 0]\) rad。手算：

\(\Delta\boldsymbol{\phi} = \mathbf{wm}_1 + \mathbf{wm}_2 + \frac{2}{3} \mathbf{wm}_1 \times \mathbf{wm}_2\)

验证：z 分量 = \(\frac{2}{3} \cdot 0.01^2 = 6.67 \times 10^{-5}\) rad ≈ 13.7 arcsec。这就是不做圆锥补偿会损失的精度。

练习 2：舒勒频率验证¶

用 MATLAB 算：

glv;
ws_check = 1/sqrt(glv.Re/glv.g0);   % 应 ≈ 1.241e-3 rad/s
T_check = 2*pi/ws_check / 60;        % 应 ≈ 84.4 min

对照 glv.ws 应该一致。

练习 3：零偏 → 位置误差¶

给一个 0.01°/h 陀螺零偏，纯惯导 1 小时后：

• 姿态误差 ≈ \(0.01° \times 1 = 0.01° = 1.745 \times 10^{-4}\) rad
• 等效加速度误差 ≈ \(g \cdot \sin(0.01°) \approx 9.8 \times 1.745e{-4} = 1.71 \times 10^{-3}\) m/s²
• 位置误差 ≈ \(1.71e{-3} \cdot 3600^2 / 2 \approx 11\) km

等等，为什么这里和第 6 节例题（3.1 m）差这么多？

→ 因为第 6 节用的是 \(\varepsilon_b \cdot g \cdot t^2 / 2\)，其中 \(\varepsilon_b\) 已经是 rad/s 单位；这里如果用"0.01°/h × 1h"作为姿态误差的估计，是稳态误差，会偏大。真正的舒勒振荡峰值位置误差 ≈ 3 m（1σ）——去 test_SINS.m 把 eb 改成 0.01°/h 跑一次，画位置误差曲线，看哪个对。

练习 4：Allan 曲线读数¶

用 PSINS 的 avar.m 跑一段静止 IMU 数据（psins260314/data/ 目录下的 lasergyro.imu 可试，该目录无页面请本地浏览）：

1. 画双对数 Allan 曲线
2. 在斜率 -1/2 段（τ = 1s 附近）读 ARW，单位 °/√h
3. 在底凹点（τ ≈ 100-1000s）读零偏不稳定性，单位 °/h
4. 对照 imuerrset.m 的设置，看量级是否一致

📚 下一站¶

读完本文件，你就可以去 00_glvf.md 了——你会看到 glv.cs / glv.ws / glv.dph / glv.ug 这些符号时不再陌生。

然后顺序往下：

• 00_glvf.md → 全局参数总入口
• 01_earth.md → 地球参数计算
• 02_cnscl.md → 圆锥+划桨补偿实现层（理论在这里落地）
• 03_insupdate.md → SINS 三连更新核心