00b 坐标变换与旋转矩阵 Wiki — 从"东北天是左手系？"说起¶
所属层级: L0基础 · 前置阅读（在 00a_INSBasics.md 之后、00_glvf.md 之前读） 前置依赖: 00a_INSBasics.md 第 8 节（角速度符号约定："相对于"和"投影到"） 学习目标: 读完你应能回答
- 东北天(ENU) 和北东地(NED) 哪个是右手系？怎么不用手势验证？
- 主动旋转和被动旋转的区别是什么？惯导里用的是哪个？
- 旋转矩阵里那个 \(-\sin\theta\) 的负号从哪来？
- 为什么"被动矩阵 = 主动矩阵的转置"？
- 给一个旋转角，怎么"一眼看出"旋转矩阵每一列的符号？
📚 衔接 wiki 数学主线：本文从 PSINS 实战角度讲"三步法写旋转矩阵 + 东北天手性验证"；通用原理推导（单轴矩阵符号机理、三矩阵乘法顺序、\(C_n^b\) 等式、主动/被动可视化）见 坐标变换与旋转矩阵（推导入门）。两者互补，符号约定以具体工程为准。
🧩 这个文件为什么存在¶
很多初学者卡在惯导的第一步——坐标变换。典型症状：
- 看着"东北天"觉得它是左手系（错觉！）
- 旋转矩阵里一会儿 \(+\sin\theta\) 一会儿 \(-\sin\theta\)，搞不清负号从哪来
- 听人说"被动变换 = 主动变换的转置"，但不知道为什么
- 教材里写 \(C_1^2\)、\(R(\theta)\)、\(C_b^n\)，分不清谁是谁的转置
这个文件就是把这些"第一步的坑"一次性填平。不靠手势、不靠死记，只用两个工具：
- 叉乘公式（验证坐标系手性）
- "旧 X 轴去哪了"三步法（一眼写出旋转矩阵每一列）
学完后，你看 11_Mahony.md / 12_QEAHRS.md 里的 \(C_b^n\)、\(\mathbf{q}\otimes\)、rv2q 就不会再被符号困扰。
1. 🦶 坐标系手性：东北天是左手系？（纠正一个直觉错觉）¶
1.1 错觉从哪来¶
很多人第一次看"东北天(ENU)"觉得它是左手系，原因出在默认把 X 轴当成了北。
如果你心里想的是"X=北、Y=东、Z=天"，然后伸右手四指从北(食指)转向东(中指)，大拇指确实指向地而不是天——看起来像左手系。
但这是把轴顺序搞反了。ENU 的标准定义是 X=东、Y=北、Z=天，不是 X=北。
1.2 叉乘法验证（不靠手势，靠公式）¶
手势容易搞混，用叉乘的数学定义最严谨。设 \(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 是笛卡尔基向量，叉乘基本性质：
右手系判据：如果 \(\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3\)（第三个轴 = 前两个轴的叉乘），就是右手系。
| 坐标系 | 轴顺序 | 叉乘验证 \(\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3\)? | 结论 |
|---|---|---|---|
| 东北天 (ENU) | X→东、Y→北、Z→天 | \(\text{东} \times \text{北} = \mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k} = \text{天}\) ✓ | 右手系 |
| 北东地 (NED) | X→北、Y→东、Z→地 | \(\text{北} \times \text{东} = \mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k} = \text{地}\) ✓ | 右手系 |
| "北西天"（虚构） | X→北、Y→西、Z→天 | \(\text{北} \times \text{西} = \mathbf{i} \times (-\mathbf{j}) = -\mathbf{k} = \text{地} \neq \text{天}\) ✗ | 左手系 |
关键：东北天和北东地都是右手系，区别只在"哪根轴叫 X"。把 X/Y 顺序对换，左手系立刻变右手系。
1.3 PSINS 用的是哪个？¶
看 MahonyUpdate.m 的关键代码：
bxyz = ahrs.Cnb*mag; % L38: 磁力计从 b 系转到 n 系
bxyz(1:2) = [0;norm(bxyz(1:2))]; % L39: 把 n 系磁场的"第1分量"清零
wxyz = ahrs.Cnb'*bxyz; % L40: 转回 b 系
L39 把第 1 分量清零、第 2 分量保留，物理意义是"参考磁场只含北向和天向，去掉东向"。这说明 n 系第 1 分量 = 东、第 2 分量 = 北、第 3 分量 = 天——正是 ENU。
结论：PSINS 默认导航系 n = 东北天(ENU)，右手系。代码里
Cnb的列就是按"东-北-天"顺序排列的。
1.4 一句话记忆¶
东北天和北东地都是右手系，区别只是"哪根轴叫 X"。判手性不靠手势，靠叉乘 \(\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3\)。
2. 🔄 主动 vs 被动：谁在动？¶
2.1 两种变换的定义¶
想象桌面上有一张白纸，纸上画了坐标系和一个箭头（向量）。
| 变换类型 | 谁动 | 谁不动 | 结果 | 公式 |
|---|---|---|---|---|
| 主动变换（active） | 向量转 +θ | 坐标系不动 | 向量在坐标系下的投影变了 | \(\mathbf{r}_{\text{new}} = R(\theta)\,\mathbf{r}_{\text{old}}\) |
| 被动变换（passive） | 坐标系转 +θ | 向量不动 | 向量在新坐标系下的投影变了 | \(\mathbf{r}_{\text{new}} = C\,\mathbf{r}_{\text{old}} = R(\theta)^T\,\mathbf{r}_{\text{old}}\) |
关键洞察：让向量顺时针转 \(\theta\)（主动），和让坐标系逆时针转 \(\theta\)（被动），投影结果一样。所以主动用 \(R(\theta)\)，被动用 \(R(\theta)^T\)——这是同一个旋转，两种描述方式。
2.2 惯导里用的是哪个？¶
被动变换——99% 的惯导坐标变换都是被动。
| 场景 | 谁动 | 物理量 | 变换 |
|---|---|---|---|
| 重力对准 | 飞机姿态在变(b系转) | 重力 \(\mathbf{g}\) 在空间不动 | \(C_b^n\)（被动）把 \(\mathbf{g}^n\) 投影到 b 系 |
| 磁场修正 | 飞机姿态在变(b系转) | 地磁场 \(\mathbf{m}\) 在空间不动 | \(C_b^n\)（被动）把 \(\mathbf{m}^n\) 投影到 b 系 |
| 速度积分 | 飞机姿态在变(b系转) | 速度是物理量 | \(C_b^n\)（被动）把 \(\mathbf{v}^b\) 投影到 n 系 |
主动变换用在哪？用在描述刚体自身姿态更新——姿态四元数乘法 \(\mathbf{q}_{k+1} = \mathbf{q}_k \otimes \text{rv2q}(\boldsymbol{\omega}T_s)\) 是主动旋转，描述机体系自己转了多少。
2.3 两者数学关系：互为转置¶
最后一等号是因为旋转矩阵正交：\(R^T = R^{-1} = R(-\theta)\)。
记忆：被动 = 主动的转置 = 主动的反向旋转。下面第 6 节会从"列拼起来"的角度证明这个等式。
3. 📐 投影的几何本质：cos(夹角)¶
旋转矩阵的每一项都是"投影"。理解投影，符号问题就解决了一半。
3.1 投影 = 作垂线¶
投影的几何定义：从向量末端 \(P\) 向坐标轴作垂线，垂足到原点的距离就是投影。
这画出一个直角三角形：斜边 = 向量本身，两条直角边 = 在两个坐标轴上的投影。
3.2 单位向量投影 = cos / sin¶
直角三角形的边角关系（初中几何）：
如果向量是单位向量（长=1），与 X 轴夹角 = \(\theta\)，则：
- 水平边（X 轴投影）\(= 1 \times \cos\theta = \cos\theta\)
- 垂直边（Y 轴投影）\(= 1 \times \sin\theta = \sin\theta\)（因为垂直边与 Y 轴夹角 = \(90°-\theta\)，\(\cos(90°-\theta) = \sin\theta\)）
投影万能公式：任意向量在某轴上的投影 = 向量长度 × cos(向量与该轴的夹角)。
3.3 负号从哪来？¶
如果夹角 \(> 90°\)（向量偏向了轴的反方向），\(\cos\) 自动变负。负号不是公式硬塞的，是几何上"向量偏向反方向"的自然结果。
4. ➡️ 主动旋转矩阵推导¶
4.1 三步法：问"旧 X 轴去哪了"¶
矩阵乘法的基本性质：
第一列 = 把旧 X 轴单位向量 \([1,0,0]^T\) 喂给这个矩阵，看它吐出什么。这是"一眼看出"的钥匙——不用背公式，问自己：
"旧 X 轴那个向量，经过这个变换后，变成了什么？"
三步法（任何旋转矩阵都适用）：
- 问清是主动还是被动（决定向量转还是系转）
- 第一列 = 旧 X 轴 \([1,0,0]\) 的"去处"
- 第二列 = 旧 Y 轴 \([0,1,0]\) 的"去处"，第三列同理
💡 一句话点破：矩阵里没有任何"旋转的动作"，它是一张照片——转完之后，坐标轴长什么样。
教材常把"动作"和"结果"混着讲，这才是"凭什么一堆数字就能代表旋转"这个困惑的根源。正确顺序是反的：先规定基向量搬到哪儿，矩阵自己就长出来了——不是矩阵被"赋予"了旋转含义，而是你用两个落点把它填满之后，它自然就只能干旋转这一件事。
完整推导（含数值验算、为什么 \(\det=+1\) 才能排除镜像、可拖动的交互演示）见 坐标变换与旋转矩阵 · 第零节：矩阵凭什么代表旋转。
4.2 第一列推导（主动：旧 X 轴转 +θ）¶
- 旧 X 轴 \([1,0,0]\) 被主动转 \(+\theta\) 角
- 转到哪？→ 与 X 轴夹角变成 \(\theta\) → 新位置 \([\cos\theta, \sin\theta, 0]\)
- 第一列 = \([\cos\theta, \sin\theta, 0]^T\) ✓
4.3 第二列推导（主动：旧 Y 轴转 +θ）¶
- 旧 Y 轴 \([0,1,0]\) 本来与 X 轴夹角 \(90°\)，转 \(+\theta\) 后夹角变 \(90°+\theta\)
- 在 X 轴投影 = \(\cos(90°+\theta) = -\sin\theta\)（**负号！**因为 \(90°+\theta > 90°\)，向量偏向 X 轴反方向）
- 在 Y 轴投影 = \(\sin(90°+\theta) = \cos\theta\)
- 第二列 = \([-\sin\theta, \cos\theta, 0]^T\) ✓
4.4 拼出主动矩阵 \(R(\theta)\)¶
绕 Z 轴转 \(\theta\)（Z 轴不动，所以第三列 = \([0,0,1]^T\)）：
这就是教材里那个 \(\Psi\) 矩阵——每一项都从"旧轴去哪了"推出来，没有一项是硬塞的。
5. ⬅️ 被动旋转矩阵推导¶
5.1 关键：向量相对新系的夹角成了 \((\phi-\theta)\)¶
被动变换下，向量在空间里纹丝不动，但坐标系转了 \(+\theta\)。
设向量初始与旧 X 轴夹角 = \(\phi\)（向量初始角）。坐标系逆时针转 \(\theta\) 后，向量相对新 X' 轴的夹角变成：
为什么是减号？因为坐标系"跑"到向量前面去了 \(\theta\)，向量在坐标系里看就"后退"了 \(\theta\)——夹角从 \(\phi\) 变成 \(\phi-\theta\)。
5.2 \((\phi-\theta)\) 投影公式¶
向量在新系的坐标 = 向量长度 × cos(向量与新轴的夹角)：
这就是你那个 HTML 文件底部写的：
被动旋转：\(v_2 = C_1^2 \cdot v_1 = [r\cos(\phi-\theta),\, r\sin(\phi-\theta),\, 0]^T\)
5.3 符号反转：\(\sin(\phi-\theta)\) 跨越 0 轴¶
用和差公式展开：
关键现象：当 \(\theta > \phi\) 时，\(\sin(\phi-\theta) < 0\)——新系下 Y' 轴投影变负！这就是你 HTML 里"红线向下"那个临界点。
5.4 拼出被动矩阵 \(C = R(\theta)^T\)¶
把"旧 X 轴"和"旧 Y 轴"分别作为初始向量（\(\phi=0\) 和 \(\phi=90°\)），套用第 5.2 节公式：
第一列（旧 X 轴，\(\phi=0\)）： - 相对新系夹角 = \(0-\theta = -\theta\) - 在新 X' 轴投影 = \(\cos(-\theta) = \cos\theta\)（cos 是偶函数，不变号） - 在新 Y' 轴投影 = \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\)（sin 是奇函数，反号了！） - 第一列 = \([\cos\theta, -\sin\theta, 0]^T\) ✓
第二列（旧 Y 轴，\(\phi=90°\)）： - 相对新系夹角 = \(90°-\theta\) - 在新 X' 轴投影 = \(\cos(90°-\theta) = \sin\theta\) - 在新 Y' 轴投影 = \(\sin(90°-\theta) = \cos\theta\) - 第二列 = \([\sin\theta, \cos\theta, 0]^T\) ✓
拼起来（绕 Z 轴，第三列 \([0,0,1]^T\)）：
负号的唯一来源：被动变换下，旧轴相对新系的夹角是 \(-\theta\)（而不是 \(+\theta\)），\(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) 就反号了。这不是公式硬塞的，是几何上"向量相对新轴后退了"的自然结果。
6. 🔗 被动 = 主动的转置（列拼起来证明）¶
把第 4 节和第 5 节推出的两组列并排放：
| 第 1 列 | 第 2 列 | |
|---|---|---|
| 主动 \(R(\theta)\) | \([\cos\theta,\, +\sin\theta]^T\) | \([-\sin\theta,\, \cos\theta]^T\) |
| 被动 \(C(\theta)\) | \([\cos\theta,\, -\sin\theta]^T\) | \([\sin\theta,\, \cos\theta]^T\) |
对照看：
- 主动第 1 列 \([\cos\theta, +\sin\theta]^T\) ↔ 被动第 1 行 \([\cos\theta, +\sin\theta]\)
- 主动第 2 列 \([-\sin\theta, \cos\theta]^T\) ↔ 被动第 2 行 \([-\sin\theta, \cos\theta]\)
被动矩阵的行 = 主动矩阵的列——这正是转置的定义！
6.1 几何解释¶
- 主动矩阵的列 = "旧轴转 \(+\theta\) 后的位置"
- 被动矩阵的列 = "旧轴在新系里的坐标" = "旧轴相对新系成了 \(-\theta\) 角时的投影"
- 这两个描述角度符号相反，恰好对应"转置 = 反向旋转"
6.2 代数证明（一行）¶
旋转矩阵是正交矩阵：\(R(\theta)^{-1} = R(\theta)^T = R(-\theta)\)。
- 主动转 \(+\theta\) 的逆 = 主动转 \(-\theta\)
- 被动转 \(+\theta\)（坐标系转 \(+\theta\)）= 等价于向量主动转 \(-\theta\)（向量相对新系后退 \(\theta\)）
- 所以 \(C(\theta) = R(-\theta) = R(\theta)^T\) ✓
一句话记忆：被动 = 主动的转置，因为"坐标系转 \(+\theta\)"等价于"向量相对坐标系转 \(-\theta\)"，角度反号 → 矩阵转置。
7. 🎯 三个轴的旋转矩阵汇总¶
上面只推了绕 Z 轴。绕 X、Y 轴同理，用三步法（"旧轴去哪了"）可以推出。
7.1 绕 Z 轴（航向 \(\psi\)）¶
7.2 绕 X 轴（横滚 \(\gamma\)）¶
推导（绕 X 轴，X 轴不动，看 Y/Z 轴）： - 旧 Y 轴 \([0,1,0]\) 转到 \([0, \cos\gamma, \sin\gamma]^T\)（向 Z 方向偏）→ 第 2 列 - 旧 Z 轴 \([0,0,1]\) 转到 \([0, -\sin\gamma, \cos\gamma]^T\)（向 Y 反方向偏）→ 第 3 列，负号在这里
7.3 绕 Y 轴（俯仰 \(\theta\)）¶
注意：绕 Y 轴的主动矩阵里 \(+\sin\theta\) 在右上，\(-\sin\theta\) 在左下——这是因为 Y 轴旋转的"正方向"（右手定则）是 X→Z 方向，符号位置和绕 Z/X 轴略不同。用三步法推一次就记住了，不要硬背。
7.4 欧拉角顺序（Z-Y-X，PSINS 默认）¶
PSINS 的 m2att / att2m 用的是 Z→Y→X（yaw→pitch→roll） 顺序的欧拉角。被动变换的合成（坐标系依次转 \(\psi, \theta, \gamma\)）：
注意矩阵乘法不交换——这就是 00a_INSBasics.md 第 1 节讲"圆锥误差"的数学根源。
8. 💻 PSINS 里的 \(C_b^n\) 是什么¶
8.1 \(C_b^n\) = 被动变换（b→n 投影）¶
PSINS 里 ins.Cnb / ahrs.Cnb 是从 b 系（机体系）到 n 系（导航系）的坐标变换矩阵，被动变换：
读法：\(C_b^n\) = "把 b 系向量投影到 n 系"。下标 b 是"源坐标系"，上标 n 是"目标坐标系"。
8.2 \(C_b^n{}'\) = 主动变换（n→b 投影）¶
因为 \(C_b^n\) 正交，它的转置就是逆：
所以 ahrs.Cnb'（转置）= 从 n 系到 b 系的变换。代码里常见：
ahrs.Cnb * mag：mag是 b 系磁力计，乘 \(C_b^n\) → 得 n 系磁场（b→n 投影）ahrs.Cnb' * bxyz：bxyz是 n 系参考磁场，乘 \(C_n^b\) → 得 b 系参考（n→b 投影）
8.3 代码对照¶
MahonyUpdate.m（已在第 1.3 节引用）：
bxyz = ahrs.Cnb*mag; % L38: b→n 投影
bxyz(1:2) = [0;norm(bxyz(1:2))]; % L39: 清零东向（n系第1分量=东）
wxyz = ahrs.Cnb'*bxyz; % L40: n→b 投影（转置）
QEAHRSUpdate.m 里状态量 \(\mathbf{q}\) 通过 q2dcm 转 \(C_b^n\)，再用 \(C_b^n\) 把 n 系重力 \([0,0,-g]^T\) 投影到 b 系做量测——全程被动变换。
代码阅读技巧：看到
Cnb * X就是 b→n（X 是 b 系量），看到Cnb' * X就是 n→b（X 是 n 系量）。矩阵的上下标 + 是否转置，决定了投影方向。
9. 🎨 配套可视化¶
9.1 主动 vs 被动：双滑块对比¶
主动 vs 被动旋转 · 交互演示 提供了一个双滑块交互式对比：
- 左滑块 \(\phi\)：控制向量初始角
- 右滑块 \(\theta\)：控制旋转角
- 左图：主动变换（向量转 \(+\theta\)，坐标系不动）
- 右图：被动变换（坐标系转 \(+\theta\)，向量不动）
- 底部矩阵：实时显示 \(R(\theta)\) 和 \(C = R(\theta)^T\) 的数值
建议操作：
- 把 \(\phi=20°, \theta=35°\)，看右图被动变换下向量末端向新 X' 轴作垂线，Y' 投影是负的（红线向下）
- 把 \(\theta\) 拉到 \(\theta > \phi\)（如 \(\phi=20°, \theta=50°\)），看 \(\sin(\phi-\theta)\) 变负——这就是符号反转的临界点
- 对照两个矩阵，验证"被动 = 主动的转置"——左矩阵第 1 列 = 右矩阵第 1 行
学习建议：边玩边对照本文第 5.2 节的 \((\phi-\theta)\) 公式，5 分钟就能彻底理解符号来源。
9.2 更底层的问题：矩阵凭什么代表旋转？¶
上面 9.1 解决的是"主动和被动差在哪"，这里是更前面的一步——"凭什么一堆数字（矩阵）就能代表旋转？" 三步拆开，全程只有加减乘：
- 矩阵乘向量只有一种算法：记 \(R\) 的两个列向量为 \(c_1,\ c_2\)，则 \(R\,v = a\,c_1 + b\,c_2\) —— 即"拿向量的分量去给矩阵的列当权重，然后加起来"。纯算术，零几何。
- 所以列 = 基向量的新地址：把 \(e_1=[1,0]^T\) 喂进去，套上面那句定义，结果正好是第 1 列；同理第 2 列就是 \(e_2\) 的落点。
- 先定落点，矩阵自己长出来：想转 \(\theta\)，就问 \(e_1\)、\(e_2\) 各去哪 —— 分别是 \((\cos\theta,\ \sin\theta)\) 与 \((-\sin\theta,\ \cos\theta)\)，两列并起来就是 \(R(\theta)\)。
这三步画的是主动画面
上面第 2、3 步的"落点/去哪"用的是主动旋转画面（向量转、坐标系不动）， 推出来的是 \(R_{\text{act}}=\begin{bmatrix}c&-s\\s&c\end{bmatrix}\)。紧邻的 9.1 讲过， 被动旋转的矩阵是它的转置 \(\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}\) —— 也就是 PSINS 里 \(C_b^n\) 用的那一族。
"列 = 新地址"这个读法两边通用，只是含义不同：主动看"旧轴被搬到哪"，被动看"旧轴在新系里怎么读"。 两套的并列对比图见 推导入门页 · 0.4b 岔路口。
下面三张图从左到右就是这三步：
会循环播放的版本 —— θ 从 0° 扫到 360°，注意整个平行四边形连同红色 \(Rv\) 一起刚性转动，而灰色原向量 \(v\) 始终不动：
👉 旋转矩阵三步推导 · 交互演示 —— 可切换 ①②③ 步，拖动 θ / a / b，右侧实时显示两列数值、\(\det R\)、以及 \(|v|\) 与 \(|Rv|\) 的对比。
建议操作：切到第 ③ 步，把 θ 拖一圈，盯住 \(|v|\) 和 \(|Rv|\) —— 两者永远相等。这就是"它只做了旋转、没有拉伸"的硬证据。
10. ❌ 初学者最容易踩的坑¶
- 把"东北天"误判为左手系：本质是把 X 轴默认成了北。ENU 的标准定义是 X=东、Y=北、Z=天，按此顺序叉乘 \(\text{东} \times \text{北} = \text{天}\) 完全符合右手系。
- 混淆主动和被动：看到旋转矩阵就以为是"向量在转"。惯导里 \(C_b^n\) 是被动变换——物理量不动，机体系在转。
- 死记 \(-\sin\theta\) 的位置：不要背，用"旧 X 轴去哪了"三步法推一次就记住了。负号来自"旧轴相对新系成了 \(-\theta\) 角"。
- 以为被动矩阵是新东西：它就是主动矩阵的转置。代码里
Cnb'就是 \(C_n^b\)。 - 搞混 \(C_b^n\) 的上下标：下标 b 是源（被投影的系），上标 n 是目标（投影到哪个系）。
Cnb * X= b→n。 - 欧拉角顺序记不住：PSINS 用 Z-Y-X（yaw→pitch→roll）。矩阵乘法不交换，顺序错了结果完全不同——这就是圆锥误差的根源。
- 以为任意正交矩阵都是旋转：正交（\(R^TR=I\)）只保证"列是单位长且互相垂直"，这样的矩阵能做的有两件事——旋转（\(\det=+1\)）和镜像 / 反射（\(\det=-1\)）。判断依据就是看行列式的符号，别只看正交性。
11. 🎯 配套练习¶
练习 1：手推绕 X 轴的主动矩阵¶
用三步法（"旧轴去哪了"）推 \(R_x(\gamma)\)。提示：X 轴不动，看 Y 轴和 Z 轴分别转到哪。
验证：第 2 列 = \([0, \cos\gamma, \sin\gamma]^T\)（旧 Y 轴向 Z 方向偏），第 3 列 = \([0, -\sin\gamma, \cos\gamma]^T\)（旧 Z 轴向 Y 反方向偏）。
练习 2：验证被动 = 主动转置¶
写一段 MATLAB 代码：
theta = 35 * pi/180;
R = [cos(theta) -sin(theta) 0; sin(theta) cos(theta) 0; 0 0 1];
C = R'; % 被动 = 主动转置
% 验证：把 [1;0;0]（旧X轴）分别喂给 R 和 C
disp(R * [1;0;0]); % 应得 [cos(theta); sin(theta); 0] —— 主动：旧X轴转+theta
disp(C * [1;0;0]); % 应得 [cos(theta); -sin(theta); 0] —— 被动：旧X轴相对新系成-theta
对照：打开 主动 vs 被动旋转 · 交互演示，把 \(\phi=0,\ \theta=35°\)，左图末端 = \([\cos 35°,\ \sin 35°]\)，右图末端 = \([\cos 35°,\ -\sin 35°]\)，与上面代码输出一致。
练习 3：PSINS 代码追踪¶
打开 MahonyUpdate.m，回答：
- L38
ahrs.Cnb*mag中mag是 b 系还是 n 系量？结果bxyz是 b 系还是 n 系量？ - L39 为什么清零第 1 分量？这和"n 系第 1 分量 = 东"有什么关系？
- L40
ahrs.Cnb'为什么加转置？
答案：1. mag 是 b 系量，bxyz 是 n 系量；2. 清零东向 = 让参考磁场只含北向和天向，避免磁力计污染 pitch/roll；3. 转置 = 把 n 系量 bxyz 转回 b 系做叉积误差。
练习 4：手算符号反转临界点¶
设 \(\phi=20°\)。问 \(\theta\) 取多少时，被动变换下 Y' 轴投影开始变负？
解：\(\sin(\phi-\theta) < 0 \Rightarrow \phi-\theta < 0 \Rightarrow \theta > \phi = 20°\)。所以 \(\theta = 20°\) 是临界点，\(\theta > 20°\) 时 Y' 投影为负。
在 HTML 里验证：把左滑块拉到 \(\phi=20°\)，右滑块从 \(20°\) 慢慢拉到 \(50°\)，观察右图红线（Y' 投影）从向上变成向下。
📚 下一站¶
读完本文件，你就可以去 00_glvf.md 了——那里的 glv.cs / glv.ws / glv.dph 不再陌生。
然后顺序往下：
- 00_glvf.md → 全局参数总入口
- 01_earth.md → 地球参数计算（\(\omega_{ie}^n\) 在这里落地）
- 02_cnscl.md → 圆锥+划桨补偿实现层
- 03_insupdate.md → SINS 三连更新核心（\(C_b^n\) 在这里被更新）
- 11_Mahony.md / 12_QEAHRS.md → AHRS 算法（\(C_b^n\) 的两种估法）