一阶低通滤波器与波特图（Bode Plot）分析¶

通用科普：先把"一阶低通"这件事讲清楚，再用两张波特图把频率响应看明白。本文是一阶互补滤波分析的"前置数学"——互补滤波里那个对加速度计做低通的分支，本质就是下面这个东西。它也是 AHRS 里给加计"降噪"最常用的手段（见 P5 姿态解算·Mahony 的准静态门控）。

1. 它是什么、解决什么问题¶

低通滤波器（Low-Pass Filter, LPF）只让低频信号通过、把高频信号衰减掉。

现实里"高频"通常是噪声：

一阶是最简单的一类：只有一个储能元件（一个时间常数 \(\tau\)），传递函数是一条直线斜率（−20 dB/dec），没有谐振峰。工程上够用、好算、好移植，是嵌入式里的主力。

连续域标准型（截止角频率 \(\omega_c=2\pi f_c\)，\(\tau=1/\omega_c\)）：

\[H(s)=\frac{\omega_c}{s+\omega_c}=\frac{1}{1+\tau s}\]

令 \(s=j\omega\)（\(\omega=2\pi f\)），得到频率响应 \(H(j\omega)\)：

\[|H(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega/\omega_c)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+(f/f_c)^2}}\]

\[\angle H(j\omega)=-\arctan\!\Big(\frac{\omega}{\omega_c}\Big)=-\arctan\!\Big(\frac{f}{f_c}\Big)\]

记归一化频率 \(x=f/f_c\)（相对截止频率的倍数），则幅值只取决于 \(x\)，与具体截止频率无关——这正是下面两张图用 \(f/f_c\) 作横轴的理由。

波特图把幅值画成 dB（纵轴），相位画成度，横轴是 对数频率。两张图已按 \(f/f_c \in[0.01,100]\) 画好：

一阶低通幅频响应（波特图）

一阶低通相频响应（波特图）

低于截止频率（\(f\ll f_c\)，\(x\ll1\)）：\(|H|\approx1\)，即 0 dB——信号几乎无损通过；
高于截止频率（\(f\gg f_c\)，\(x\gg1\)）：幅值按 \(1/x\) 衰减，即 −20 dB/dec（每十倍频程降 20 dB），图中灰色虚线就是这条渐近线；
正好在截止频率（\(f=f_c\)，\(x=1\)）：幅值降到 \(1/\sqrt2\approx0.707\)，即 −3.01 dB——这就是"截止频率"的定义（半功率点）。

直觉：−20 dB/dec 意味着频率高 10 倍、幅度只剩约 1/10（10× 在幅度上是 20 dB；反过来 −20 dB 就是 1/10）。

这个相位滞后就是低通的代价：你看到的姿态比真实姿态"慢半拍"。互补滤波之所以把加计低通、陀螺高通相加，就是为了用陀螺的高频响应去补回加计被低通吃掉的那部分动态。

阶跃输入 \(u(t)=1\;(t\ge0)\) 的输出：

\[y(t)=1-e^{-t/\tau}\]

即按时间常数 \(\tau=1/\omega_c\) 指数趋近——约 \(3\tau\sim5\tau\) 收敛。截止频率越低，\(\tau\) 越大，收敛越慢（时延越大）。这和频域"截止越低越迟钝"是同一件事的两面。

本库 M-A 的 Mahony 没直接对加计做低通，而是用准静态门控（机动时关掉加计修正、交给陀螺硬扛）——思路异曲同工：都是"别让高频运动加速度污染姿态"。区别是门控按比力模长判据、低通按频率判据，各有盲区（详见 P5 第 6.2 节）。

下一篇可回看一阶互补滤波分析（把这里的低通和陀螺高通拼成一个姿态估计器）。