01 二进制与编码：原码、反码、补码¶
C 语言系列·基础篇第一篇。从「计算机为什么只认 0 和 1」讲起，把有符号整数的三种编码方式——原码、反码、补码——彻底讲透，并落到 C 语言的位运算与溢出行为上。 全文用 8 位二进制做例子，理解后 16/32/64 位只是把数字放大，规则完全一样。
这篇能带给你什么¶
- 原理层：补码为什么是计算机的唯一选择——不是约定俗成，而是硬件成本决定的必然。
- 换算层：任意负数 → 补码的手算与心算技巧，以及「为什么 -128 没有正数配对」。
- 实战层：溢出、回绕、无符号陷阱、
x & -x这类补码在位运算中的经典用法。
阅读路线：赶时间直接看第 5 节（补码）+ 第 6 节（溢出）；想完整建立直觉，从第 1 节顺着读。
1. 为什么计算机只用 0 和 1¶
物理上，电路最容易实现的状态就是两种：高电平 / 低电平。于是所有信息——数字、文字、图片、声音——在计算机内部最终都变成一串 0 和 1，称为二进制。
一个 0/1 称为 1 个比特（bit）；8 个比特组成 1 个字节（byte）。一个 n 位二进制数能表示 2^n 种不同组合。比如：
- 8 位无符号数：
0 ~ 255（00000000₂ ~ 11111111₂） - 16 位无符号数：
0 ~ 65535 - 32 位无符号数：
0 ~ 4294967295
但问题来了：负数怎么表示？ 这就是编码要解决的事。同一个二进制位模式，用不同编码解释，就是不同的数字。
2. 三个候选方案：原码、反码、补码¶
人类最早想到的、也最符合直觉的方案，是把最高位当"符号位"：0 表示正，1 表示负。围绕「符号位怎么处理」演化出了三种编码：
| 编码 | 负数规则 | 有没有 ±0 问题 | 加减法要不要判断符号 |
|---|---|---|---|
| 原码 | 符号位 + 绝对值 | 有（00000000 与 10000000 都是 0） | 要，硬件复杂 |
| 反码 | 符号位不变，其余位取反 | 有（00000000 与 11111111 都是 0） | 不用，但要处理循环进位 |
| 补码 | 反码 + 1 | 没有 | 不用，一个加法器通吃 |
下面逐一展开。
3. 原码：最直观，也最不好用¶
定义：最高位是符号位（0 正 1 负），其余位是绝对值。
| 十进制 | 8 位原码 |
|---|---|
| +5 | 00000101 |
| -5 | 10000101 |
| +0 | 00000000 |
| -0 | 10000000 |
两个致命缺点：
- 有两个 0（
+0和-0）。比较相等、判零都要特判，很别扭。 - 加减法必须先判断符号。
5 + (-5)，硬件要先看一个是正一个是负，再决定是加还是减、谁减谁、结果符号归谁——一套复杂的逻辑，还容易出错。
于是有了反码，试图让「减法变成加法」。
4. 反码：减法变加法，但 ±0 还在¶
定义：正数同原码；负数是「符号位不变，其余位全部取反」。
| 十进制 | 8 位反码 |
|---|---|
| +5 | 00000101 |
| -5 | 11111010 |
| +0 | 00000000 |
| -0 | 11111111 |
好处：5 + (-5) 可以直接当加法算：
结果碰巧就是 -0，数值上等于 0，方向对了！但 11111111 表示 -0，和 00000000（+0）是两个不同的位模式，判等依然要特判；而且如果出现进位，还得做一次「循环进位（end-around carry）」补回来，硬件还是要额外逻辑。
反码的方向正确，但不够干净。最终胜出的是补码。
5. 补码：一个加法器通吃一切¶
定义：正数同原码；负数是「反码 + 1」。
| 十进制 | 原码 | 反码 | 补码 |
|---|---|---|---|
| +5 | 00000101 | 00000101 | 00000101 |
| -5 | 10000101 | 11111010 | 11111011 |
| +0 | 00000000 | 00000000 | 00000000 |
| -0 | 10000000 | 11111111 | 不存在（被 -128 占用） |
| -128 | 无法表示 | 无法表示 | 10000000 |
三个关键性质，让补码成为唯一选择：
性质 1：0 是唯一的
补码里 00000000 是唯一的 0。-0 的补码 = 11111111 + 1 = 00000000（进位丢掉），它不存在了。
性质 2：减法就是加法
a - b 等价于 a + (-b)，而 -b 的补码就是一个位模式。硬件只需要一个加法器，不需要单独的减法器，不需要判断符号。这是补码胜出的根本原因——省电路、省逻辑、快。
性质 3：范围不对称，多出一个负数
8 位补码范围是 -128 ~ 127，而不是 ±127。因为 0 唯一了，10000000 空出来就表示 -128。对称的正数 +128 放不下。
本质理解（模运算视角）：n 位补码就是「模 2^n 下的余数」。比如 8 位：
-1=255（即11111111），因为-1 ≡ 255 (mod 256)-128=128（即10000000），因为-128 ≡ 128 (mod 256)
整个数轴被卷成一个环，这也是下面这张图想表达的东西：
图中顺时针每走一步就是 +1：127 + 1 会越过最大值，直接回绕到 -128。这种「绕一圈回来」的行为，正是补码数学上的「模 2⁸ 回绕」。
5.1 手算与心算技巧¶
套路一（取反加一）：-x 的补码 = ~x + 1。
套路二（从右往左找第一个 1）：从最低位往左，遇到第一个 1 之前照抄，之后全部取反。
快速换算表（8 位，建议背下来）：
| 十进制 | 补码 |
|---|---|
| 127 | 01111111 |
| 1 | 00000001 |
| 0 | 00000000 |
| -1 | 11111111 |
| -2 | 11111110 |
| -128 | 10000000 |
规律：-1 是全 1，这在实际中非常有用（后面会看到）。
6. 溢出与回绕：C 里两种截然不同的行为¶
回到补码环：127 + 1 会回绕到 -128。在 C 里，这个「回绕」是否合法，取决于类型有没有符号：
| 类型 | 溢出行为 | C 标准态度 |
|---|---|---|
unsigned（无符号） | 模 2^n 回绕，结果确定 | 定义好的（是数学运算，不是错误） |
signed（有符号） | 结果未定义（可能回绕、可能被优化掉） | 未定义行为（UB），编译器可为所欲为 |
经典陷阱
有符号溢出是未定义行为，不只是"结果不对"——现代编译器做优化时可能直接假设"这种情况永远不会发生"，导致程序行为完全不可预测。这也是嵌入式代码里循环计数、长度计算优先用无符号类型的原因之一。
7. 位运算视角：补码的实战价值¶
补码让一组位运算有了数学意义。几个高频用法：
| 表达式 | 含义 | 原理 |
|---|---|---|
x & -x | 取出 x 最低位的 1 | -x = ~x + 1，低位 1 前面的位全部取反后相加进位，只有最低位 1 保留 |
x & (x - 1) | 清除 x 最低位的 1 | 常用于统计二进制中 1 的个数（每次清掉一个） |
~x + 1 | 取相反数（等价 -x） | 补码定义本身 |
x >> k | 除以 2^k（注意：有符号右移是算术右移，负数补符号位） | 无符号右移才是逻辑右移 |
示例——统计一个 uint32_t 里 1 的个数：
uint32_t count_bits(uint32_t x)
{
uint32_t n = 0;
while (x) { x &= (x - 1); n++; } /* 每轮清掉最低位的 1 */
return n;
}
示例——判断一个数是不是 2 的幂：
这些技巧能成立，全依赖「补码 = 模运算」这一性质。理解补码，位运算就不再是死记硬背。
8. 小结与自测¶
一句话记忆：
- 原码：直观，但有 ±0、加减法要判断符号。
- 反码：减法变加法，但 ±0 还在。
- 补码：
反码 + 1，0 唯一、减法即加法、范围 -128~127，硬件只要一个加法器，所以它是计算机的最终选择。 - 无符号溢出是回绕（确定），有符号溢出是 UB（不可依赖）。
自测题（答案在文末折叠区）：
- 写出 -1、-2、-64、-128 的 8 位补码。
- 解释为什么 8 位补码能表示 -128，却不能表示 +128。
127 + 1在 8 位补码下等于多少？在 32 位int下等于多少？x & -x在x = 12（00001100）时等于多少？